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1、第七章 弯曲变形,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,7.1 概述,一、工程中的弯曲实例,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,二、计算弯曲变形的目的,1、研究刚度,2、解静不定问题,3、确定梁弯曲的动载系数。,控制变形：齿轮轴，镗刀杆,使用变形：叠板
2、弹簧，跳水板,三、弯曲变形的基本概念,1、挠曲线,梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面）内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。,表示：,连续光滑,特点：,w=f(x)，它是坐标x的连续函数。,2.挠度和转角,规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,:是度量弯曲变形的两个基本量,四、画绕曲线近似形状的方法,1、考虑支座的约束特点,固定端：w=0,=0,铰支座：w A=0,wB=0,2、考虑弯矩的变化,弯矩为正，下凸,弯矩为负，上凸,弯矩为O的线段，直线,弯矩为O的点，拐点,例：,7.2 挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程的导出,力学公式,数学
3、公式,平面曲线(挠曲线)上任意点的曲率公式。,纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲（l5h）可近似使用。EIZ称为梁的抗弯刚度。,对于小挠度情形有,挠曲线的近似微分方程,二、积分法求弯曲变形,对于等截面直梁，有：,说明：,（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。,（2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。,固定端：w=0,=0,确定积分常数：,（1）边界条件,（2）连续性条件,梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右两截面的转角和挠度均相等。,A,铰支座：w A=0,wB=0,已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简
4、支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,例：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,解：,已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,例：,解：,由边界条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz）,例：,解：,1.求支反力、写出弯矩方程；,AC段：,CB段：,2.列出挠曲线微分方程，并积分；,AC段：,CB段：,3.列出边界条件；,4.连续性条件；,由连续性条件，可求得,由边界条件，可求得,
5、5.求最大转角和最大挠度,对简支梁受集中力，最大转角一般在两端截面上:,比较，当 a b 时，,挠度最大值发生在,截面上，,当 a b 时，发生在AC段：,最后得转角方程和挠曲线方程为：,AC段：,CB段：,讨论：,（1）,（2）,当须分段表示弯矩方程时，需用连续条件、边界一起确定积分常数。,（3）,截面,最大挠度很接近于梁中点挠度值,故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：,（4）,当 b=l/2 时,（5）,积分法适用于求任意截面的挠度的转角,已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件：,由边界条件：,由
6、对称条件：,例：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,1.挠度和转角,规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。,内容回顾：,挠曲线的近似微分方程,2.挠曲线近似微分方程,3.积分法求弯曲变形,对于等截面直梁，有：,截面的转角方程,梁的挠曲线方程,说明：,（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。,（2）C、D为积分常数，由边界条件
7、和连续性条件确定。,挠曲线的近似微分方程,7.3 叠加法求弯曲变形,一、叠加法前提,材料服从胡克定律 小变形,二、第一类叠加法载荷叠加法,当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。,已知：q、l、EI,求：wC,B,=,+,+,用叠加法求,例：,解：,若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？,例：,解：,例：求图示梁 B、D两点的挠度 wB、wD。,解：,例：怎样用叠加法确定图示梁C截面的挠度 wC和转角C。,解：,所以，,三、第二类叠加法逐段分析求和法,为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚化
8、处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为逐段分析求和法，又称位移叠加法。,注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，比较方便。,例,求外伸梁ABC的外伸端A的挠度。,解：用逐段分析求和法。,（2）将BC段刚化,（1）将AB段刚化,（3）最后结果,例,求外伸梁ABC的外伸端A的挠度和转角。,解：,（1）将BC段刚化。,（2）将AB段刚化。,（3）最后结果,例,求悬臂梁ACB的自由端B的挠度和转角。,解：,（1）将AC段刚化。,（2）将BC段刚化。,两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最
9、大挠度是梁的多少倍？,例：,16倍,例：简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,16倍,7.4 梁的刚度校核,刚度条件：,、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,一、梁的刚度条件,二、三类刚度问题,（1）刚度校核,（2）截面设计,（3）确定许可载荷,例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，w=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解：由刚度条件,例：矩形截面 的纯弯曲梁如图所示,已知梁中性层上无应力,若将梁沿中性层 锯开,将锯开后的两梁叠合在
10、一起并承受相同的弯矩,问锯开前后,即一根 的梁和两根 叠合在一起的梁,两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别为多少?,解:,锯开前,最大应力,抗弯刚度,锯开后,两根 的梁独立作用,每梁承受,故叠合梁的,最大应力,抗弯刚度,两种情况下,最大应力和抗弯刚度的比值为,解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为形式上的静定梁系统,一、静不定梁的概念,不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁,静不定梁 或超静定梁,二、相当系统的建立,方法步骤：,该梁称为原静不定梁的相当系统,求出解除约束处的变形，并与实际变形比较，得补充方程.,三、用变形比较法解静不定梁,7.5 简单超静定梁,求图示静不定梁的支反力。,例：,解：,将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,7.6 提高梁弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,一、增大梁的抗弯刚度EI,影响梁强度的截面几何性质,影响梁刚度的截面几何性质,1.合理选择截面形状,2.合理选择材料,影响梁强度的材料性能,影响梁刚度的材料性能,二、减小跨度或增加支撑,三、改变加载方式,第七章结束了！,谢谢大家！,
