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1、选修4-5 不等式选讲,一、主干知识1.含有绝对值的不等式的解法：(1)|f(x)|a(a0)_.(2)|f(x)|a(a0)_.(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解,f(x)a或f(x)a,af(x)a,2.含有绝对值的不等式的性质：_|ab|_.3.柯西不等式：(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则_，当且仅当adbc时等号成立,|a|b|,|a|b|,(a2b2)(c2d2)(acbd)2,(2)若ai，bi(iN*)为实数，则当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)
2、柯西不等式的向量形式：设 为平面上的两个向量，则 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立4.算术几何不等式：若a1,a2,an为正数，则_，当且仅当a1=a2=an时等号成立.,二、重要方法1.比较法：一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”.2.综合法：用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式.,3.分析法：用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理
3、、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.反证法：有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“惟一”或者其他否定词的命题适用反证法.,5.放缩法：放缩法是在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的.6.数学归纳法：用数学归纳法证明与正整数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.,1(2013江苏高考)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.【证
4、明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为ab0,所以a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.,2.(2013福建高考)设不等式x2a(aN*)的解集为A,且(1)求a的值.(2)求函数f(x)=x+a+x2的最小值.【解析】(1)因为 所以解得 又因为aN*，所以a=1.(2)因为|x+1|+|x2|(x+1)(x2)|=3.当且仅当(x+1)(x-2)0即-1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.,热点考向 1 含有绝对值
5、的不等式【典例1】已知函数f(x)=|x+a|+|x2|.(1)当a=3时，求不等式f(x)3的解集.(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.,【解题探究】通过分类讨论，将不等式中的绝对值符号化去，转化为普通的一元一次不等式，再求解集.(1)当a=-3时，因两个绝对值的零点分别是x=2,x=3，故当x2时，f(x)=_；当2x3时，f(x)=_；当x3时，f(x)=_,从而求解.(2)f(x)|x-4|转化为_，然后求解.,-2x+5,1,2x-5,|x-4|-|x-2|x+a|,【解析】(1)当a=-3时，当x2时，由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2x3时，f(x)
6、3,无解;当x3时，由f(x)3得2x-53,解得x4,所以f(x)3的解集为x|x1或x4.(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|，当x1，2时，|x+a|x-4|-|x-2|=4-x+x-2=2,所以-2-ax2-a,由条件得-2-a1且2-a2,即-3a0，故满足条件的a的取值范围为-3,0.,【方法总结】常见绝对值不等式的解法含有两个绝对值符号的不等式，如|x-a|x-b|c和|x-a|x-b|c型不等式的解法有三种：几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范
7、围更广.,【变式训练】(2013辽宁高考)已知函数f(x)=|xa|,其中a1.(1)当a=2时，求不等式f(x)4|x4|的解集.(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值.,【解析】(1)当a=2时，当x2时，由f(x)4|x4|2x+64x1；当2x4时，由f(x)4|x4|24，不成立；当x4时，由f(x)4|x4|2x64x5.综上，x1或x5.所以当a=2时，不等式f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5.,(2)记h(x)=f(2x+a)2f(x)=|2x|2|xa|,则由|f(2x+a)2f(x)|2得|h(x)|2，即|4x2a|224
8、x2a2由已知不等式|f(2x+a)2f(x)|2的解集为x|1x2.即|h(x)|2的解集为x|1x2,热点考向 2 几个著名的不等式【典例2】已知函数f(x)=(xa)2+(xb)2+(xc)2+(a,b,cR)的最小值为m，若ab+2c=3，求m的最小值.【解题探究】因本题函数是二次函数，故将其展开后配方，得f(x)=_，从而用a,b,c的代数式表示最小值m=_，再结合条件ab+2c=3，利用柯西不等式求其最小值.,a2+b2+c2,【解析】因为f(x)=(xa)2+(xb)2+(xc)2+=3x22(a+b+c)x+a2+b2+c2+所以 时，f(x)取最小值a2+b2+c2，即m=a
9、2+b2+c2，因为ab+2c=3，由柯西不等式得12+(1)2+22(a2+b2+c2)(ab+2c)2=9，所以m=a2+b2+c2当且仅当 时等号成立，所以m的最小值为,【方法总结】柯西不等式或排序不等式的解题思路利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.根据柯西不等式，要求形如a2+b2+c2的最小值，就要对a2+b2+c2再配一个平方和形式的因式，通常情形下，若已知约束条件ma+nb+kc=p，则配一个形如m2+n2+k2的因式，从而求其
10、最值.,【变式训练】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式 恒成立,求的取值范围.【解析】由基本不等式及柯西不等式,得,热点考向 3 不等式的证明【典例3】已知常数a0，且a1，设(1)当a=2时，求f(2),f(3).(2)当nZ且n2时，比较f(n)与n的大小，并证明你的结论.【解题探究】因所给函数并不标准，故利用换元法，设t=logax，则x=_，从而f(t)=_，由此求f(2),f(3)；当nZ且n2时，这是有关正整数的一个命题，故可利用数学归纳法证明，即判断n=2时，f(n)_n，再设当n=k时猜想的不等式成立，通过适当放缩，证n=k+1时，也成立.,at,【解析】(1)
11、设t=logax，则x=at,所以f(t)=所以f(x)=当a=2时，f(x)=从而(2)猜测f(n)n.证明如下：方法一：因f(logax)=当n=2时，,假设当n=k时成立，即于是f(k+1)k+1.综合得，对n2的所有正整数，都有f(n)n.,方法二：当n=2时，假设当n=k时成立，即则当n=k+1时，f(k+1)=综合得，对n2的所有正整数，都有f(n)n.,【方法总结】不等式证明的常用技巧不等式证明的方法主要有比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法等；常用的技巧有适当放缩、恰当构造、适时代换、灵活分拆、引入参数等.,【变式训练】(2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：(1)ab+bc+ca(2)【证明】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1，即ab+bc+ca当且仅当“a=b=c”时等号成立.,(2)因为当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立,故即所以,
