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1、微积分学的实际应用,一、微分学在几何中的应用,曲线的切线问题,二、微分学在物理中的应用,1.自由落体运动的瞬时速度问题,取极限得,2.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,3.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体 的线(面,体)密度.,三 微分学在近似计算中的应用,解,四 微分学在经济问题中的应用,1 边际函数的应用,定义1：如果函数f(x)在区间I可导，则称导函数f(x)为f(x)的边际函数。,在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。由导数的定义知，f(x)是f(x0)在x点的变化率。即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f(x0)个单位。如边际成本C(x0)表
2、示生产x0个单位产品时，再生产一个单位产品，成本增加C(x0)。,这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。同时也说明边际成本与平均成本有区别。,2 极值在经济中的应用,利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。,某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为C(x)=0.5x2+36x+9800（元），那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？,平均成本:C(x)=0.5x+36+9800/x,C(x)=0.5-9800/x2,令C(x)=0，x=140又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。,五 微分学
3、在生物领域中的应用,生物种群数量问题,设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。,问题假设,1、假设该生物种群的自然增长率为常数 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物种群的生存不影响该生物种群的生存。3、假设时刻t生物种群数量为N(t)，由于N(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为N0,问题分析,问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数，或单位时间内单个个体增加的平均数量。,文字方程改写为符号方程,在t时段种群数量的净增加量=在t+t时刻的种群数量在t时刻的种群数量
4、。,模型建立,Malthus模型,模型求解,结果验证,上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可以很好吻合；人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合理性。,六 微分学在最优化问题的应用,易拉罐问题:,分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的直圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少?,表面积用 S 表示,体积用 V 表示,则有,于是我们可以建立以下的数学模型：,其中 S 是目标函数,是约束条件(V 已知,即罐内体积一定),.,即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的 r,h.,求驻点(临界点,critical point),.,知道,是一个局部极小值点.实际上,它也是全局最小值点,因为临界点是唯一的.,最小面积为,又由于,七 积分学在几何，物理中的应用,几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；物理：功；水压力；引力和平均值等,八 积分学在经济中的应用,八 积分学在经济中的应用,在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在某区间的总量。,九 积分学在生活中的应用,
