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1、“数系的扩充和复数的概念”的教学解析,襄阳三中 苏春艳,引言问题的提出 1.数系扩充的漫长、曲折、艰辛的历史过程告诉我们，“数”概念的学习必然成为学生数学学习的难点；2.复数对中学生而言不仅是“数”的形成与发展的顶端，还是学生认知中从一维到二维的一个跨越，因此复数概念的教学一定是教学的难点和重点；3.新课标要求在复数的教学中增加了“体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系”这一目标。,复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。这不仅使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础。教材的意图是充分借助类比实数系的扩充过程
2、，并在实数系的基础上定义了复数，深刻体会了实际需求和数学内部矛盾在数学的扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，从而以更高的观点和更一般的方法解决和简化中学数学中的问题。让学生体会数学美-数学过程之美，方法之美，严谨之美。这种奇妙和富有哲理的思想方法，让学生产生自然，自豪的情感流露，借此使学生产生主动学习的兴趣。,一、教材分析,1、本节课的地位和作用：,2、教学目标：,（1）知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i,（2）过程与方法：类比扩展有理数集的过程来扩展 实数集，培养学生自主探究、类比推理的能力,（3）情感、态度与价值观：让学生体会数学美-数 学
3、过程之美，方法之美，严谨之美。通过对卡当、欧拉、高斯等数学家们的了解，让他们的精神追求及理性情操感染熏陶学生。,教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分 类(实数、虚数、纯虚数)教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念,3、教学重难点,实数集R,负整数,分数,无理数,为了计数的需要,为了刻画具有相反意义的量,为了测量、分配等需要,正方形的边长度量它的对角线所得的结果无法用有理数表示,社会生活发展的需要,有理数集Q,整数集Z,自然数集N,4、知识回顾,已有的知识经验 知识上学生对于数系的扩充过程有一定的知识储备；方法上学生对于类比的思想的方法有所了解；态度上高中学生对于疑难困惑有一定的敏感度，喜
4、欢质疑，奋发向上。但对于新引入的数i，为什么叫虚数单位，学生难于理解，且在生活中也很少触及复数概念。,5、学情分析：,误解和困难（1）虚数 i 的引入以及被认可 学生在进行这节课之前就已经听过“复数”这个名词，但在他们认知图式中没有复数的概念，更不用说虚数的存在性。而现实生活中又没有任何事物代表虚数，并且负数开平方还与以往的知识发生冲突，因此学生就会情不自禁地怀疑引入虚数的必要性：“难道就仅仅为了使某些方程有解而与致以前的知识结构发生改变，有必要吗？”另一方面，学生们会很奇怪：“为什么字母i是一个数？”这些认知冲突会让学生很难接受虚数i的形式，不认可它而又要学习它，久而久之产生排斥（厌恶）的心
5、理。,（2）难以对人类理性思维在数系扩充中的作用的体会,初中时期，学生已经经历了数系的两次扩充过程，但是基于是初中生，心智发展不太成熟，此前的教学对数系扩充的过程和必要性，以及对人类理性思维的重要性渗透不多，因此在现阶段的教学过程中再次让学生体会这些有些困难。,针对困难（1）的教学策略（虚数i的引入以及被认可）,1）数学概念的发展史引起学生的兴趣开启课堂,2）创设情境，引起认知冲突发现问题,3）引导回忆，唤醒认知经验探究思考,4）幽默诙谐的语言讲解虚数单位 i 得出结论,针对困难（2）的教学策略 史学文化熏陶来理解人类理性思维的重要性,历史经验告诉我们人们发现复数简单，但是接受复数实在是太曲折
6、了，让学生感受史学文化的同时理解人类理性思维的在数系扩充中的重要性。另一方面，历史上的名人通常是学生精神追求的模范与动力。此时的高中生智力发展趋于稳定，但情感方面仍需加强。通过对卡当、欧拉、高斯等数学家们的了解，让他们的精神追求及理性情操感染熏陶学生。,二、教法分析,我觉得教学是一个教师“导”，学生学及其教学中的“悟”为三个子系统组成多样性的和谐体。教师的“导”也就是教师的启发，诱导，激烈，评价等为学生打下支架，把学习的任务转移给学生。“学”是什么？就是学生接受任务，看见问题，完成任务。如果在教学中把教与学完美的结合，那就是以问题为核心，利用问题驱使。本节课我通过问题引导，小组合作讨论来完成目
7、标。,相应的教学流程如下：,内外矛盾促使数学概念的发展,提出问题：如何解决x2=-1,引导探究：回忆、类比扩充有理数系的过程扩充实数系,得出复数概念,概念辨析与复数的分类,引入虚数单位i,三、教学过程（详见教学课件）,1、复数产生的文化背景知识,公元三世纪 丢番图 336x2+24=172x,一个负（数）不会是平方（数），所以它没有平方根,公元1545年 卡当 x(10-x)=40,复数的起源,意大利 邦贝利,对 进行通常的运算,瑞士 欧拉,用i表示虚数,四、教学反思,2、数系的扩充和复数概念的知识内容,知识内容有：（1）复数系的扩充。（2）复数的概念。,思想方法：类比的思想方法。,3、教育价值 复数的产生蕴含了丰富的文化素材，是学生情感教育的好材料。数学家们处理复数问题的各种态度以及在数学研究上的严谨作风和孜孜不断的追求精神，在无声中感染熏陶着学生。对待复数，数学家们从最初的感性认识不接受复数，到最终的理性处理复数融入数系中，彰显着人类理性思维。经历两、三百年洗礼的复数，带给人们一个重要的哲学思想：人类在面临新问题时，不能固执己见、墨守陈规，要创新，穷则思变，变则通。,
