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1、第三章 数系的扩充与复数的引入,3.1.1数系的扩充和复数的概念,2,创设情境 引入课题,问题竞答：,以上方程在实数集中无解。你能设想一种方法，使这类方程有解吗？,思考：,3,3.1.1数系的扩充和复数的概念,第三章 数系的扩充与复数的引入,4,数的发展过程(经历):,自然数,计数的需要,(正整数和零),分数,表示相反意义的量,解方程x+3=1,负数,测量、分配中的等分,解方程3 x=5,无理数,度量,解方程x2=2,实数集,一、数系的扩充,?,创设情境 探究问题,5,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,整数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够
2、减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,创设情境 探究问题,在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使x2+1=0这样的方程有解吗？,6,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,引入一个新数：,一元二次方程 在实数集范围内无解,引入新数，完善数系,类比扩充 完善数系,思考：,7,有理数系 实数系,数系扩充后，在实数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加分满足分配律。,扩充,实数系 复数系,
3、扩充,数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加分满足分配律。,类比扩充 完善数系,8,请你试着将下面的数用分别加法运算和乘法运算进行计算，并把可能的结果写出来。,类比扩充 完善数系,尝试探究：,-2，i，3,通过观察以上三组数，你发现新数系中的数有什么特点？,-2+i，3+i，-2i，3i；-4+i，1+i，-2-2i，-2+3i。,a+bi（aR，bR）,部分结果：,9,二、复数的概念,1、复数的定义:形如a+bi（aR，bR）的数叫复数,其中i叫虚数单位。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a
4、+bi（aR，bR)可记作:z=a+bi（aR，bR），把这一 表示形式叫做复数的代数形式。,复数z=a+bi(aR，bR)把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。,2、复数集:C=a+bi|aR，bR,引入概念 解析概念,10,练习1：请指出下列复数的实部与虚部。,0,特别的，当a=0 且b=0 时，z=0,当b=0 时，z为实数,当b 0 时，z为虚数,当a=0 且b 0时，z为纯虚数,对于复数z=a+bi（aR，bR）,非纯虚数的虚数：a 0,b 0,引入概念 解析概念,11,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,（1）复数z=a+bi,（2）复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系,引入概念
5、 解析概念,2、复数集:C=a+bi|aR，bR,12,判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数,辨析概念,13,例1、当m为何实数时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数,复数 当实数m=_ 时,z为纯虚数；当实数m=时,z为零。,-2,1,变式练习：,典例讲解 变式拓展,14,若两个复数z1=a+bi和z2=c+di相等，应该满足什么条件？,尝试探究：,15,设a,b,c,dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为:a+bi=c+di,规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说
6、这 两个复数相等.,注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。,引入概念 解析概念,3、复数相等,16,例2、已知，其中,复数相等,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,求x与y的值。,典例讲解 变式拓展,拓展提高：,已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x,y。,17,（1）虚数单位i的引入，数系的扩充；,（2）复数有关概念：,复数的代数形式:,复数的实部、虚部,复数相等,复数的分类,归纳小结,通过本节课的学习，你有哪些收获？,1.知识,2.思想方法,3.能力,分类讨论 等价转化,18,B,1.解方程x2+1=0.,2.复数z=i+i2+i3+i4的值是
7、（）A.-1 B.0 C.1 D.i,自主学习,19,作业,课本 P106 A组 1、2,谢谢大家，再见！,20,关于无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.,21,谢谢合作！,
