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1、4 连续型随机变量及其概率密度,一 连续型随机变量的概念与性质,在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间的任何实数值。,对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式，从而得到连续型随机变量的概念。,定义 如果对于随机变量 X的分布函数 F(x)，存在非负函数 f(x),使对于任意实数 x 有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。,连续型随机变量的概念,分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,由定义知道，概
2、率密度f(x)具有以下性质,概率密度的性质,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某 X的概率密度函数的充要条件,这是因为,注 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题。,对数集 A(严格意义下要求可测性),（1）设 X 是连续型随机变量,有概率密度 f(x)，则,（2）在 f(x)的连续点处，有,6 密度函数与分布函数的关系,注 1、对于连续型的随机变量,密度函数 唯一决定分布函数。,2、连续型随机变量的分布函数一定是 连续的；分布函数如果不连续就不 是连续型随机变量(除了连续型 分布和离散型分布以外还存在其它
3、类型的分布)。,例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质,求：常数 c；,例2 某电子元件的寿命X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量。求 5个同类型的元件在使用的前 150小时内恰有 2个需要更换的概率。,解 设 A=某元件在使用的前150 小时内需要更换,检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验 B=5个元件中恰有2个的使用寿命不超过 150小时,解(1)由 得,故，X 的概率函数为,(2)由 得,(3),当然，还可以用概率密度求概率。,例4 设连续型随机变量 X的分布函数为,确定 A、B 的值；(2)求 X 的概率密度；(3)求,故有,解
4、(1)因为 X 是连续型随机变量，所以F(x)连续,即,因此,(3),(2)由 得,当然，还可以用概率密度求概率。,注 在 F(x)导数不存在的点处，根据改变被积 函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值。,二 几种常用的连续型随机变量,1、均匀分布,则称 X 在区间（a,b）上服从均匀分布，,若连续型随机变量 X 的概率密度为,记作,均匀分布密度函数的图形,其分布函数为,均匀分布的特性,如果随机变量 X在区间（a,b）上服从均匀分布，则X 落在区间（a,b）中的任意一个子区间上的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。即随机变量 X 落在区间（
5、a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。,X,a,b,x,l,l,0,即,X,例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班 车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30 之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不 超过5分钟的概率。,解 设该乘客于7时X 分到达此站,则 X 服从区间 0,30 上的均匀分布,令 B=候车时间不超过5分钟则,2、指数分布,其中 0 为常数，则称X 服从参数为 的指数分布。,若连续型随机变量 X 的概率密度为,指数分布密度函数的图形,则其分布函数为,指数分布的应用,指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。,对任意 s,t
6、 0,有,“无记忆性”：若X 服从参数为 的指数分布，则,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。,例 设某日光灯的使用寿命服从参数=2000的指数分布（单位：h）（1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。（2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。,其中，（0）为常数，则称X 服从参数为，的正态分布或高斯分布。,记作,若连续型随机变量 X 的概率密度为,3、正态分布,正态分布密度函数的图形,其分布函数为,正态分布的应用,若随机变量 X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布。正态分布
7、是应用最广泛、最重要的一种分布。,例如 各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；都服从或近似服从正态分布。,正态分布密度函数的几何特性,（1）曲线关于直线 x=对称：f(+x)=f(-x)；,（2）在 x=时，f(x)取得最大值,（3）在 x=时，曲线 y=f(x)在对应的点处 有拐点；,（4）曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线；,（5）曲线 y=f(x)的图形呈单峰对称状；,（1）位置参数,即固定，改变 的值，则f(x)的形状不变，只是位置不同，沿着 x 轴作平移变换。,正态分布密度函数 f(x)的两
8、个参数：,（2）形状参数,即固定，改变 的值，则 f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变。越小，图形越高越瘦；越大，图形越矮越胖。,当=0，=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别为,标准正态分布,标准正态分布密度函数的图形,标准正态分布分布函数的图形,重要结论,若，则,1、,3、,2、,证明 1、,的分布函数为,故,2、由 1 得,3、由 2 得,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。,根据上述结论，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以通过查表解决一般正态分布的概率计算问题。,说明,例5 设随机变量 X N(0,1)，试求,（1）；,解（1）,（2）,（2）,解（1）,例6 设随机变量 X N(2,9)，试求,（1）；,（2）；,（3）,（2）,（3）,若 X N(,)，则,3 准则,可以看到，X 的取值几乎全部集中在,区间内，这在统计学上,称作 3 准则。,这说明，X 的取值几乎全部集中在-3,3区间内。,若 X N(0,1)，则,这一节我们介绍了随机变量的分布函数,作业 19,20，21，24，25,26,
