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1、4.3.3 线性系统与非线性系统的稳定性分析,线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。,在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。,对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一法的分析方法永远不够，基于Lyapunov第二法的方法非线性系统的分析方法克拉索夫斯基法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure)法以及波波夫法等。,下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法 1、克拉索夫斯基法 2、变量梯度法,定理4.7 非线性系统方程为已知系统平衡状态为坐标
2、原点xe=0，即f(xe)=0,且f(x)对xi处是可微的，系统的雅可比矩阵为,则系统在xe=0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵,在所有x下都是负定的，而且,是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。,对任意n维状态向量x，有,对任意n维状态向量x，有,例：设系统的状态方程为,试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe=0 稳定性.,解：,由塞尔维斯特准则有,关于定理的几点说明：,（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若 不是负定的，则不能给出任何结论。,（2）使 为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：,（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也
3、适应于线性定常系统。,若A为非奇异，则当 为负定时，系统的平衡状态稳定。,(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即,（a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；,（b）非线性函数 对 是可微的；,（c）,变量梯度法,1）梯度的概念,一个多元函数 v(x1,x2,xn)存在对 n 个变量 xi 的偏导数。,在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。,把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,xn)的梯度。习惯上用符号“V”表示。,2）向量的曲线积分,变力做功问题：变力F沿
4、着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。,积分的结果与积分路径的选择无关。,3）旋度方程,如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。,由向量的旋度为零可得出由 所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。,4）变量梯度法求李氏函数,式中 为 维状态向量，是变量,和t 的 n 维向量函数。,设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要寻找的李氏函数为,v(x)=v(x1,x2,xn),李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。求取V利用了以下两个条件：,1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足以下旋度方程：,2）由V计算出来的v(x)和 必须满足李氏函数稳定性的要求。
5、,总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：,1）假定V是一个任意列向量，即：,式中：aij(i,j=1,2,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间 t 的函数或状态变量的函数，通常 aij 选为常数或 t 的函数。,2）由V写出，即：,4）将得出的 重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。,5）由V 的线积分求出，积分路径按式（4-44）给出。,6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。,注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。,例：设非线性系统方程为,利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定
6、性。,解：（1）假定v(x)的梯度为,（2）写出 的形式,（4）求出李氏函数,满足旋度方程条件，于是有,可见，李氏函数是正定的。,4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。,沿任一轨迹的时间导数为,由于 取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有：,因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。,这可归纳为如下定理。,为了判断nn维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。,定理4.9 线性定常系统 在平衡点 处渐近稳定
7、的充要条件是：,特别地，当 时，可取(正半定)。,此时，Lyapunov函数为,现对该定理作以下几点说明：,(1)如果系统只包含实状态向量 和实系统矩阵A，则Lyapunov函数 变为，且Lyapunov方程为,(2)如果 沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。,(4)只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。,(5)为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵 和矩阵 Q 的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素 将导致n(n-1)/2个线性方程。如果用 表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和 则P
8、的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么 的和总不等于零。,(6)在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定然后再检验P是否正定。,上式可写为,此时实对称矩阵P可由下式确定,解 不妨取Lyapunov函数,从方程组中解出、，可得,为了检验P的正定性，可校核各主子行列式,将矩阵方程展开，可得联立方程组为,显然，P是正定的。,因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为,此时,例4.6 试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。,图4.3 控制系统,解 容易确定系统的状态方程为
9、,在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为(4.4)(4.5)(4.6),如果 恒等于零，也必恒等于零，因为由式(4.6）可得,由于除原点外 不恒等于零，因此可选上式的Q。,由式(4.4）到（5.6）可发现，原点是平衡状态,于是 只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(4.7）定义的矩阵Q。,也可检验下列矩阵的秩,如果 恒等于零，也恒等于零。因为由式(4.4）可得,显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。,求解如下Lyapunov方程为,它可重写为,对P的各元素求解,或,因此，当时，系统在Lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范
10、围渐近稳定的。,对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。,4.5 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计,考察线性定常自治系统，(4.8）,显然，越小，相应地自由运动衰减的越慢。,4.5.1 衰减系数,系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某种“能量”的度量，而 则为“能量”随时间的变化速率。,对线性定常系统，可以定出 随时间 的衰减上界。,一旦定出，则可定出 随时间 衰减上界。,4.5.2 计算 的关系式,(4.15),证明（略）。,几何含义为，为状态空间 的超平面上极小点处的标量
11、值。,其中 表示 的最小特征值。,例4.6 设二阶线性定常系统的状态方程为,求系统的Lyapunov函数，并求从封闭曲线v(x)=100边界上的一点到封闭曲线v(x)=0.05内一点的响应时间上限。,解:显然，平衡状态是原点。不妨取Lyapunov函数,实对称矩阵P可由下式确定,上式可写为,将矩阵方程展开，可得联立方程组为,从方程组中解出、，可得,各主子行列式均大于零,P是正定性的。,4.6 离散时间系统运动状态稳定性及其判据,类似于连续时间系统，给出如下主要结论：,结论1离散系统的大范围淅近稳定判据 对于离散系统（4.17），如果存在一个相对 的标量函数 且对任意 满足:,(ii),在实际运
12、用结论1时发现，由于条件(ii)偏于保守，以致对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，而得到较少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。,则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。,(iv)当 时，有;,(ii)为负半定；,(i)为正定；,结论2离散系统的大范围渐近稳定判据 对于离散时间系统（4.17），如果存在一个相对于 的标量函数，且对任意 满足:,由结论1，结论3得证。,这样 负定。且当时，。,证明：设,线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析,定理4-10：设线性定常离散系统为 x(k+1)=G x(k),x e=0式中：xn维状态向量 Gn*n常系数非奇异矩阵则系统在平衡点处x e=0大范
13、围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：G T P G P=-Q并且v(x)=x T(k)P x(k)是这个系统的李氏函数。,证明：设所选李氏函数为 vx(k)=x T(k)P x(k)式中：P 为正定实对称矩阵。,vx(k)=vx(k+1)vx(k)=x T(k+1)P x(k+1)x T(k)P x(k)=G x(k)TP G x(k)x T(k)P x(k)=xT(k)GT P G x(k)x T(k)P x(k)=xT(k)GT P G P x(k)=xT(k)Q x(k),李氏函数v(x)=x T(k)P x(k)选为正定，系统
14、渐近稳定条件是 vx(k)=xT(k)Q x(k)负定即 Q=(G T P G P)正定,因此，对于选定正定对称矩阵P，系统渐近稳定的充分条件是：Q为正定对称矩阵。,反之对于选定正定对称矩阵Q，由矩阵方程 Q=(G T P G P)解出P阵，P为正定对称矩阵是系统渐近稳定的必要条件。,证毕。,注意：与线性定常系统类似，若 vx(k)=xT(k)Q x(k)沿任意解的轨迹不恒等于零，那么Q可取正半定矩阵。,李氏方法判断系统稳定的一般步骤：,1、确定系统的平衡状态；,2、选定正定矩阵Q，一般选Q=I，则矩阵方程为 G T P G P)=I 由此解出P；,3、判断P的正定性，若P正定，系统大范围渐近
15、稳定，且 v(x)=x T(k)P x(k)是这个系统李氏函数。,例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。,解：选 Q=I，代入矩阵方程 G T P G P)=I,要使P正定对称矩阵，则要求,要求特征根位于单位圆内，与经典理论判定一致。,例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。,解：选 Q=I，代入矩阵方程 G T P G P)=I,4.4 试写出下列系统的几个Lyapunov函数 并确定该系统原点的稳定性,4.5 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性,下面做一些习题,4.1 试确定下列二次型是否为正定的。,4.2 试确定下列二次型是否为负定的。,0,x,y,a,-a,b,-b,(a),(c),(b),
