《线性微分方程解的结构.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性微分方程解的结构.ppt(37页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、 一元微积分学,大 学 数 学(一),第三十讲 一元微积分的应用(六),脚本编写:刘楚中,教案制作:刘楚中,微积分在物理中的应用,第七章 常微分方程,本章学习要求:,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法:,了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数
2、、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第四节 二阶常系数线性微分方程,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐线性微分方程的解,一、高阶线性微分方程的一般理论,n 阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称(2)为(1)的相对应的齐方程。,1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,(1)叠加原理,的解,则它们的线性组合,也是方程(2)的解,,证,的解,则它们的线性组合,也是方程(2)的解。,在什么情况下,叠加所得可以成为方程(2)的通解?,(2)线性无关、线性相关,证,由三角函数知识可知,这是不可能的
3、,故,证,(3)二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的解,则,是方程(2)的通解。,解,又容易看出:,而,由叠加原理,原方程的通解为,代入方程中,得,即,故有,两边积分,得,为原方程的通解。,则,解,由刘维尔公式,故原方程的通解为,2.二阶非齐线性微分方程解的结构,(1)解的性质,的一个特解,则,是原方程的一个特解。,的一个特解,则,是方程,的一个特解。,是其对应的齐方程,的一个特解。,的一个特解。,可以直接验证性质1性质4。,如何求特解?,的通解,则,是方程(1)的通解。,则有,令,以下推导的前提,于是,对上式两边关于 x 求导,得,即,联立(3)、(4)构成方程组,解此方程组,再积分,并取积分常数为零,即可得到,解,该方程所对应的齐方程为,它就是我们刚刚讲过的例题,由刘维尔公式得其通解为,由常数变易法,解方程组,两边积分,取积分常数为零,得,两边积分,取积分常数为零,得,故原方程有一特解,从而,原方程的通解为,谢谢观看!,