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1、第十二章,非正弦周期电流电路和信号的频谱,电路中的激励信号,一、定义：,12.1 非正弦周期信号,按非正弦规律变动的电源和信号,二、常见的非正弦周期信号：,音频信号、脉冲信号,三、产生原因：,电路和元件的非线性；生产和科研的信号。,四、非正弦周期信号作用下的稳态解-谐波分析法：,应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和;根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；把所得分量按时域形式叠加，就可得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。,12.2 周期函数分解为傅里叶级数,1.三角函数形
2、式：,式中，T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,3,当周期信号满足狄里赫利条件：在每个周期上满足(1)连续或有有限个第一类间断点；(2)有有限个极值点，则它就能展开成一个收敛的傅里叶级数(此时它是三角级数)：,一、周期函数的分解,对周期性的信号，可以成：,(10-1),式中1为f(t)的角频率，1=2/T,(10-1)经三角变换后可转换成另一种形式：,(10-1)和(10-2)中系数称为傅里叶系数，各系数关系为：,谐波分析：,式(10-2)中第1项A0称为周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)；,上式第2项称为1次谐波(或基波分量)，其周期与f(t)相同；,其它各项称为高次谐波，即2
3、次、3次。,(10-2),系数计算(也可通过查表(P287)得出)：,可见，一个周期函数可以展开成三角级数形式。这种数学表达式详尽，准确，但不直观。,2.频谱图,为表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含那些分量以及各分量所占比重，用长度和各次谐 波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为频谱图。因只表示各谐波分量的振幅，所以称为贴身睛度频谱。由于各谐波的角频率是1的整数倍，所以这种频谱是离散的。,二、利用函数波形的对称化简系数,周期函数常常具有对称性，其傅里叶级数中不含某些谐波，利用函数的对称性，可使系数a0、ak、bk的确定简化。,1.偶函数,偶函数有纵轴
4、对称的特点，即,对所有的k，bk=0,此时,2.奇函数,奇函数有原点对称的特点，即,对所有的k，ak=0,此时,3.奇谐波函数,奇谐波函数有镜对称的特点，具有这种性质的函数的正半波无论是后移或前移半个周期都与负半波互成镜像。其数学表达式为,对所有的k，a2k=b2k=0 a0=0,不包含直流分量和偶次谐波分量。,4.函数的对称性与计时起点的关系,在傅里叶级数中，Akm与计时起点无关，而k与计时起点有关，由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计时起点变动而变动。,由于系数ak和bk与初相k有关，所以函数的奇偶性质就可能与计时起点的选择有关，如方波函数的波形，就可因选择的起点不同，函数的奇偶
5、性质也不同。奇谐波函数与计时起点无关。因此对某些周期性函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅里叶的系数计算。,12.3 有效值、平均值、平均功率,设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数,一、有效值,任一周期信号f(t)的有效值F定义为：,将i 带入有效值公式,求得 i 的有效值为：,即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各谐波有效值的平方之和平方根。,依此可求得正弦电流的平均值为,二、平均值,任一周期电流 i 在电工中的平均值Iav定义为：,因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值，所以其平均值相当于正弦电流经全波整流后的平均值。,三、测量正弦周期信
6、号的有关量时，应选择适当的仪表,对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。用磁电系仪表(直流)仪表测量，所得结果是电流的恒定分量；用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值。因此在测量非正弦周期电流和电压时，应注意选择合适的仪表。,四、非正弦周期电流电路的平均功率,任意一端口的瞬时功率(吸收)为：,平均功率(有功功率)为：,则有：,式中：,即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。,考虑非同频的电压谐波和电流谐波只形成瞬时功率而不形成平均功率，,12.4 非正弦周期电流电路的计算,将给定的非正弦周期信号分解
7、成傅里叶级数，看作是各次谐波串联的结果；,非正弦周期电流电路的分析计算方法基于正弦交流电路的相量法叠加定理，即谐波分析法，可归结为三个步骤：,应用相量法分别计算各次谐波单独作用时所产生的响应；,应用叠加定理将所得各次响应的解析式相加，得到用时间函数表示的总响应。,电感、电容元件对不同频率的谐波分量有不同的感抗和容抗，如设基波角频率为，对k次谐波有：,在计算时注意：,对直流分量，电感视作短路，电容视作开路。,求最终响应时，一定是在时域中叠加各次谐波的响应，若把不同次谐波正弦量的相量进行加减是没有意义的。,非正弦周期电压、电流、平均功率与各次谐波有效值和平均功率的关系为：,例12-2,解：,则电路
8、中的电流相量表达式为：,式中，Im(k)为k次谐波电流的振幅。根据叠加定理，按k=0,1,2顺序，逐一求解：,已知1为基波频率，设k为谐波次数，,当k=0时，即直流分量U0=11V作用下，电容相当于开路，电 感相当于短路，则,I0=0，P0=0,同理求得：,最后按时域形式叠加：,分析：从本例可看出，us各次谐 波的振幅与k成反比衰减，电路输入阻抗的虚部也与k成反比减小，所以各次谐波的电流振幅误差非常缓慢。,例12-3,解：,从表12-1中查得us的傅里叶级数为：,例12-3,解：,将k=0,2,4.代入，可求得：,例12-3,分析：,图示为一全波整流电路的滤波电路。它利用了电感对高频电流的抑制作用，电容对高频电流的分流作用，使得输入电压中的2次和4次谐波分量大大削弱，面负载两端的电压接近直流电压。,
