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1、为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：,15.2 随机变量的概率分布,如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。,一、离散型随机变量,定义 设X是一个离散型随机变量，它可能取值为 并且取各个值的对应概率为 即,则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又称分布密度或分布列。,反过来，假如有一列数 满足,分布列也可以通过列表表示：,且,则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布列。,其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。,例1 如右图所示，从
2、中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。,X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为,其分布列为,例2 随机变量X只取两个值 和，并且已知,称这种只取两个值的分布为两点分布。,特别：若,则称这种分布为(0-1)分布。其分布列为：,例3 在独立试验概型中，重复进行n次试验时A发生k次的概率已知为：,如果用随机变量 表示 发生的次数，则 的可能取值为：相应的分布列为：,容易验证：,这种分布称为二项分布，又称Y服从参数为 和 的二项分布，记为：,如果A在第 次发生，则前 次,都是 发生，从而 的概率为：,称 服从参数为 的几何分布。,例4 在事件A 发生概率为 的贝努利试验中，如果用 表示事件A
3、 首次发生时的试验次数，则 为一随机变量，可能的取值为：,解:依据分布列的性质:,从而,这个分布称为泊松(Poisson)分布.,例5 设随机变量X的分布列为：,试确定常数a.,且,解得,泊松分布的应用是相当广泛的，比如电信传呼台每天接受到的传呼次数，某繁华交叉街口每小时经过的车辆数等都服从泊松分布，而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系。,泊松定理 在二项分布 中，如果,是常数），则成立,例7 某种药品的过敏反应率为，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。,解 以 表示20000人中发生过敏反应的人数，则 服从二项分布，所求的概率为：,
4、如果利用近似公式,计算，可以得到：，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,例8 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解：X 可能的取值为0、1、2,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,例9 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数分布列.,解:显然，X 可能取的值是1,2,，,于是,设=第 发命中，,类似地，有,这就是求所需射击发数X的分布列.,这一节，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。,
