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1、复习：,凑微分,部分常用的凑微分:,(3),(4),(5),(6),(7),完,高 等 数 学,4.2 换元积分法,第一类换元法(凑微分法),问题,?,观察,从公式,令,则有,解法,即,第一类换元法(凑微分法),第一类换元法(凑微分法),一般地,即,则,回代,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理1,例 1,解,求不定积分,利用凑微分公式,所以,完,例 2,解,求不定积分,注:,一般情形:,完,例 3,解,计算不定积分,注:,一般情形:,完,例 4,解,计算不定积分,注:,对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量,的换元和回代过程.,完,例 5,解,求不定积分,注
2、:,一般情形:,例 6,求下列不定积分,解,例 6,求下列不定积分,解,例 6,求下列不定积分,解,注:,一般情形:,完,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,完,例 8,求下列不定积分,(1),解,例 8,求下列不定积分,解,例 8,求下列不定积分,解,注:,一般情形:,完,例 9,解法一,求不定积分,原式,解法二,原式,解法三,原式,注:,一般情形:,完,例 10,求下列不定积分,解,(2),原式,例 10,求下列不定积分,解,(2),原式,例 10,求下列不定积分,
3、解,(2),原式,注:,当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分.,折开奇次,完,例 11,求下列不定积分,解,例 11,求下列不定积分,解,例 11,求下列不定积分,解,例 11,求下列不定积分,解,例 11,求下列不定积分,解,完,例 12,解,计算不定积分,由于,所以,例 12,解,计算不定积分,例 12,解,完,计算不定积分,例 13,解,求不定积分,原式,注:,利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计,算的常用手段之一.,完,例 14,求下列不定积分,解,例 14,求下列不定积分,解,例 14,求下列不定积分,解,例 14,求下列不定积分,解,例 14,求下列不定积分,解,完,例 1
4、5,求下列不定积分,解,例 15,求下列不定积分,解,例 15,求下列不定积分,解,完,例 16,解法一,试用换元法求不定积分,解法二,原式,原式,完,例 17,解,求,完,例 18,用换元法求不定积分,解,原式,完,例 19,试用换元法求不定积分,解,原式,完,例 20,解,试用换元法求不定积分,利用例12的结果:,得,完,例 21,解,求不定积分,所以,因为,原式,完,例 22,求不定积分,解,因为,它与被积函数分母相同,所以,原式,完,内容小结,则有换元公式,公式应用关键:,2.,常见的凑微分方式,积分类型,换元公式,第一类换元积分法,第一类换元积分法,利用积化和差公式进行变换,用公式,进行变换,化为倍角的三角函数降幂后再积分,1.,求下列不定积分,2.,设,求,课堂练习,完,1.,求下列不定积分,解,(1)原式,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,(2)解一,原式,1.,求下列不定积分,解,(2),1.,求下列不定积分,解,(2),解二,原式,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,(4)令,则,于是,原式,完,2.,设,求,解,令,则,从而,完,
