四章常用概率分布.ppt

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1、第四章 常用概率分布,下一张,主 页,退 出,本章主要内容：,1、概率基本知识2、小概率事件实际不可能原理3、正态分布 4、二项分布5、平均数的抽样分布6、t分布,下一张,主 页,退 出,上一张,第一节 事件与概率,一、事 件（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：,下一张,主 页,退 出,上一张,一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称为必然现象或确定性现象。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必

2、相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象或不确定性现象。,下一张,主 页,退 出,上一张,随机现象的特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。,下一张,主 页,退 出,上一张,（二）随机试验与随机事件 1、随机试验 根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。一个试验如果满足下述三个特性，则 称 其 为一个 随机试

3、验，简称试验：,下一张,主 页,退 出,上一张,（1）试验可以在相同条件下多次重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果；（3）每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。例如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别情况，它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。,下一张,主 页,退 出,上一张,2、随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能 发生，也可能不发生，称为随机事件，简称事件，通常用A、B、C等来表示。（1）基本事件 不能再分的事件称为基本

4、事件，也称为样本点。,下一张,主 页,退 出,上一张,例如，在编号为1、2、3、10 的十头猪中随机抽取1头，有10种不同的可能结果：“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件。如“取得一个编号是 2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个编号是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本事件组合而成。,下一张,主 页,退 出,上一张,（2）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件，用表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经

5、114天左右产仔，就是一个必然事件。,下一张,主 页,退 出,上一张,（3）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，用表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但 是 为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。,下一张,主 页,退 出,上一张,二、概率（一）概率的统计定义 研究随机试验，一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，称之为概率。事件A的概率记为P（A）。,下一张,主 页,退 出,上一张,概率的统计定义：在相同条件下

6、进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p，那么就把 p称为随机事件A的概率。,下一张,主 页,退 出,上一张,这样定义的概率称为统计概率，或者称后验概率。例如 为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。,下一张,主 页,退 出,上一张,在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即 P（A）=pm/n（n充分大）（4-1）,下一张,主 页,退 出,上一张,（二）概率的

7、古典定义 有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；2、各 个 试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。,下一张,主 页,退 出,上一张,具有上述特征的随机试验，称为古典概型。对于古典概型，概率的定义如下：,设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P（A）=m/n(4-2)这样定义的概率称为古典概率或先验概率。,下一张,主 页,退 出,上一张,【例4.1】在编号为1、2、3、10的十个球中随机抽取1个，求下列随机事件的概

8、率。（1）A=“抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10,而事件A所包含的基本事件有4个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何一个，事件A便发生，于是mA=4，所以,下一张,主 页,退 出,上一张,P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件B所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，事件B便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例4.2】在N头奶牛中，有M头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求:(1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M=8，

9、n=10，m=2，其概率是多少？,下一张,主 页,退 出,上一张,把从有M头奶牛曾有流产史的N头奶牛中任意抽出n头奶牛，其中恰有m头有流产史这一事件 记为A，因为 从 N 头 奶 牛 中 任 意 抽 出 n 头奶牛的基本事件总数为；事件A所包含的基本事件数为；因此所求事件A的概率为：,下一张,主 页,退 出,上一张,将N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得=0.0695 即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流产史的概率为6.95%。,（三）概率的性质 1、对于任何事件A，有0P（A）1；2、必然事件的概率为1，即P（）=1；3、不可能事件的概

10、率为0，即P（）=0。,三、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。,下一张,主 页,退 出,上一张,在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。,第二节 概率分布,下一张,主 页,退 出,上一张,一、随机变量 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。【例4.3】对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、

11、“1头治愈”、“2头治愈”、“”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、100。,下一张,主 页,退 出,上一张,【例4.4】孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。若用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。【例4.5】测定某品种猪初生重，表示测定 结 果 的 变 量 x 所 取的值为一个特定范围(a,b)，如0.51.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。,下一张,主 页,退 出,上一张,如果变量x其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则 称 x 为离散型随机变量；如果变量x 其可

12、能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称x为连续型随 机变量。,下一张,主 页,退 出,上一张,二、离散型随机变量的概率分布 如果将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,(4-3)则称（4-3）式为离散型随机变量x的概率分布或分布。常用分布列来表示离散型随机变量：,下一张,主 页,退 出,上一张,x1 x2 xn.p1 p2 pn,显然离散型随机变量的概率分布具有pi0和pi=1这两个基本性质。,三、连续型随机变量的概率分布 对于连续型随机变量，用随机变量x在某个区间内取值的

13、概率P(axb)来表示。下面通过频率分布密度曲线予以说明。,下一张,主 页,退 出,上一张,由表2-7作126头基础母羊体重资料的频率分布直方图，见图4-1，图中纵座标取频率与组距的比值。可以设想，如果样本取得越来越大(n+)，组分得越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值 概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的联线 频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当n+、i0时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。,下一张,主 页,退 出,上一张,对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。这

14、条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数。,下一张,主 页,退 出,上一张,(4-4)式 为 连 续 型 随机变量 x 在 区间a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。表2-7资料的分布曲线：,若记体 重概率分布密度函数为f(x)，则x取值于区间a,b）的概率为图中阴影部分的面积，即 P(axb)=(4-4),图4-1 表2-7资料的分布曲线,连续型随机变量概率分布的性质：1、分布密度函数总是大于或等于0，即f(x)0；2、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即(c为任意实数)因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，

15、而不去讨论取某一个值的概率。,下一张,主 页,退 出,上一张,3、在 一次试验中 随机变量x之取值 必在-x+范围内，为一必然事件。所以(4-5)(4-5)式表示分布密度曲线下、横轴上的全 部面积为1。,下一张,主 页,退 出,上一张,第三节 正态分布,下一张,主 页,退 出,上一张,一、正态分布的定义及其特征（一）正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为(4-6)其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布，记为xN(,2)。相应的概率分布函数为(4-7),下一张,主 页,退 出,上一张,图4-2 正态分布密度曲线,(二)正态分布的特征 1、正态分布密度曲线是单峰、对称的

16、悬钟形曲线，对称轴为x=；2、f(x)在 x=处达 到 极 大，极大值；3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+；,下一张,主 页,退 出,上一张,4、曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+)区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的；5、正态分布有两个参数，即平均数和标准差。6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：,下一张,主 页,退 出,上一张,二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖于参数和2(或)的一簇 分布，正态曲线之位置及形态随和2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，需将一般的N(，2)转 换为=0,2=1的正态分布。,我们称

17、=0,2=1的正态分布为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)和(u)，由(4-6)及(4-7)式得：(4-8)(4-9)随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1)，分布密度曲线如图45所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,图4-5 标准正态分布密度曲线,对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换：u=(x-)(4-10)将 其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u 称 为 标 准 正 态变量或标准正态离差。,下一张,主 页,退 出,上一张,三、正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则 u 在u1,u2）

18、何内取值的概率为：(u2)(u1)(4-11)而(u1)与(u2)可由附表1查得。,下一张,主 页,退 出,上一张,（二）一般正态分布的概率计算 若随机变量 x服从正态分布N(,2)，则x的取值落在任意区间 x1,x2）的概率，记作P(x1 x x2)，等于：,下一张,主 页,退 出,上一张,因此，计算一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。,关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在加减不同倍数区间的概率)是经常用到的。,P(-x+)=0.6826 P(-2x+2)=0.9545 P(-3x+3)=0.9973 P(-

19、1.96x+1.96)=0.95 P(-2.58x+2.58)=0.99,生物统计中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间(-k,+k)之内的概率而且 也很 关心 x落在此区间之外的概率。我们把随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作。,下一张,主 页,退 出,上一张,例如，x落在(-1.96,+1.96)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。即 P(x-1.96=P(x+1.96)=0.025 双侧概率或单侧概率如图4-8所示。x落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率 P(x-2.58)=P(x+

20、2.58)=0.005,下一张,主 页,退 出,上一张,图4-8 双侧概率与单侧概率,第四节 二项分布,一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响，则称这n次试验是独立的。对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与 之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0p1)，因而出现对立事件 的概率是1-p=q，则 称 这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验。,下一张,主 页,退 出,上一张,在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1，2，n次，事件 A 恰好发生k(0kn)次的概率记为Pn(k)。,下一张,主 页,退 出,上一张,一般

21、，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为：,二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下：设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,，n，且有=k=0,1,2，n 其中p0，q0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布,记为 xB(n,p)。,下一张,主 页,退 出,上一张,二项分布由n和p两个参数决定：1、当p值较小且n不大时，分 布 是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图4-9 所示；2、当 p 值 趋 于 0.5 时，分 布 趋于对称，如图4-10所示；3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。此外

22、，在n较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当n时，二项分布的极限分布是正态分布。,下一张,主 页,退 出,上一张,三、二项分布的概率计算及应用条件【例4.9】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为31。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。根据题意，n=10，p=34=0.75，q=14=0.25。设10头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75)的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率为：,下一张,主 页,退 出,上一张,二项分布的应用条件有三：（1）各观察单位 只具有互相对立 的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于

23、二项分类资料；（2）已知发生某一结果(如死亡)的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较稳定的数值；（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。,主 页,退 出,上一张,四、二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之平均数、标准差与参数n、p有如下关系：当试验结果以事件A发生次数k表示时=np(4-18)=(4-19),下一张,主 页,退 出,上一张,当试验结果以事件A发生的频率kn表示时(4-20)(4-21)也称为总体百分数标准误，当 p 未知时，常以样本百分数 来估

24、计。此时(4-21)式改写为：=(4-22)称为样本百分数标准误。,下一张,主 页,退 出,上一张,第五节 样本平均数的抽样分布,研究总体与从中抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容。对这种关系的研究可从两方面着手：一是从总体到样本，这就是研究抽样分布的问题；二是从样本到总体，这就是统计推断问题。,下一张,主 页,退 出,上一张,由总体中随机地抽取若干个体组成样本，即使每次抽取的样本含量相等，其统计量(如，S)也将随样本的不同而有所不同，因而样本统计量也是随机变量，也有其概率分布。我们把统计量的概率分布称为抽样分布。,下一张,主 页,退 出,上一张,一、样本平均数抽样分布 由总体随机抽样的方法

25、可分为有返置抽样和不返置抽样两种。前者指每次抽出一个个体后，这个个体应返置回原总体；后者指每次抽出的个体不返置回原总体。对于无限总体，返置与否都可保证各个体被抽到的机会相等。对于有限总体，就应该采取返置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等。,下一张,主 页,退 出,上一张,设有一个总体，总体平均数为,方差为2，总体中各变数为 x，将此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为。可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，不尽相同，与原总体平均数相比往往表现出不同程度的差异。这种差异是由随机抽样造成的，称为抽样误差。显然，样

26、本平均数也是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的总体称为样本平均数的抽样总体。,下一张,主 页,退 出,上一张,其平均数和标准差分别记为 和。是样本平均数抽样总体的标准差，简称标准误，它表示平均数抽样误差的大小。统计学上已证明总体的两个参数与x 总体的两个参数有如下关系：=，(4-24),下一张,主 页,退 出,上一张,设有一个 N=4 的 有 限总体，变数为2、3、3、4。根据=xN和2=(x-)2N求得该总体的、2、为：=3,2=12,=0.707,下一张,主 页,退 出,上一张,从有限总体作返置随机抽样，所有可能的样本数为Nn，其中n为样本含量。以上述总体

27、而论，如果从中抽取n=2的样本，共可得 42=16 个样本；如果样本含量n为4，则一共可抽得44=256个样本。分别求这些样本的平均数，其次数分布如表4-6所示。根据表4-6，在n=2的试验中，样本平均数抽样总体的平均数、方差与标准差分别为：,下一张,主 页,退 出,上一张,表4-6 N=4,n=2和n=4时的次数分布,下一张,主 页,退 出,上一张,=4/16=1/4=(1/2)/2=,下一张,主 页,退 出,上一张,同理，可得n=4时：这就验证了=，的正确性。若将表4-6中两个样本平均数的抽样总体作次数分布图，则如图4-12所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,由以上模拟抽样试验可以看出

28、，虽然原总体并非正态分布，但从中随机抽取样本，即使样本含量很小(n=2,n=4)，样本平均数的分布却趋向于正态分布形式。随着样本含量 n 的增大，样本平均数的分布愈来愈从不连续趋向于连续的正态分布。比较图4-12两个分布，在n由2增到4时，这种趋势表现得相当明显。当n30时，的分布就近似正态分布了。X 变量与 变量概率分布间的关系可由下列两 个定理说明：,下一张,主 页,退 出,上一张,1.若 随 机 变 量 x 服 从 正 态 分 布N(2)；、，是由x 总体得来的随机样本，则统计量=xn的概率分布也是正态分布，且有=，即服从正态分布N(,2n)。2.若随机变量x服从平均数是，方差是2的分布

29、(不是正态分布)；，是由此总体得来的随机样本，则 统 计 量=xn的概率分布，当n相当大时逼近正态分布N(,2n)。这就是中心极限定理。,下一张,主 页,退 出,上一张,中心极限定理告诉我们：不论x变量是连续型还是离散型，也无论x服从何种分布，一般只要n30，就可认为 的分布是正态的。若x的分布不很偏倚，在n20时，的分布就近似于正态分布了。,下一张,主 页,退 出,上一张,二、标准误 标准误(平均数抽样总体的标准差)的大小反映样本平均数 的抽样误差的大小，即精确性的高低。标准误大，说明各样本平均数 间差异程度大，样本平均数的精确性低。反之，小，说明 间的差异程度小，样本平均数的精确性高。的大

30、小与原总体的标准差成正比，与样本含量n的平方根成反比。从某特定总体抽样，因为是一常数，所以只有增大样本含量才能降低样本平均数 的抽样误差。,下一张,主 页,退 出,上一张,在实际工作中，总体标准差往往是未知的，因而无法求得。此时，可用样本标准差S估计。于是，以 估计。记 为，称作样本标准误或均数标准误。样本标准误 是平均数抽样误差的估计值。若样本中各观测值为，则(4-25),下一张,主 页,退 出,上一张,注意，样本标准差与样本标准误是既有联系又有区别的两个统计量，(4-25)式已表明了二者的联系。二者的区别在于：样本标准差 S 是反映样本中各观测值，变异程度大小的一个指标，它的大小说明了 对

31、该样本代表性的强弱。样本标准误是样本平均数 的标准差，它是抽样误差的估计值，其大小说明了样本间变异程度的大小及精确性的高低。,下一张,主 页,退 出,上一张,对于大样本资料，常将样本标准差S与样本平均数 配合使用，记为 S，用以说明所考察性状或指标的优良性与稳定性。对于小样本资料，常将样本标准误 与样本平均数 配合使用，记为，用以表示所考察性状或指标的优良性与 抽样误差的大小。,下一张,主 页,退 出,上一张,第七节 t 分布,若xN(,2)，则 N(,2/n)。将随机变量 标准化得：，则uN(0,1)。当总体标准差未知时，以样本标准差S代替所得到的统计量 记为t。在计算 时，由于采用S来代替

32、，使得t 变量不再服从标准正态分布，而是服从t分布。它的概率分布密度函数如下：,下一张,主 页,退 出,上一张,(4-26)式中，t的取值范围是（-，+）；df=n-1为自由度。t分布的平均数和标准差为：t0(df1)，(df2）(4-27)t分布密度曲线如图4-13 所示，其特点是：,下一张,主 页,退 出,上一张,1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。3、与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n 30时

33、，t分布与标准正态分布的区别很小；n 100时，t分布基本与标准正态分布相同；n时，t 分布与标准正态分布完全一致。,下一张,主 页,退 出,上一张,t分布的概率分布函数为：(4-28)因而t在区间（t1，+）取值的概率右尾概率为1-F t(df)。由于t分布左右对称，t在区间（-，-t1）取值的概率也为1-F t df)。于是 t 分布 曲线 下由-到-t 1和由t 1到+两 个 相 等 的 概 率 之和两尾概率为2(1-F t(df)。对于不同自由度下t分布的两尾概率及其对应的临界t值已编制成附表3，即t分布表。,下一张,主 页,退 出,上一张,例如，当df=15时，查附表3得两尾概率等于0.05的临界t值为=2.131，其意义是：P(-t-2.131)=P(2.131t+)=0.025；P(-t-2.131)+(2.131t+)=0.05。由附表3可知，当df一定时，概率P越大，临界t值越小；概率P越小，临界t值越大。当 概 率 P 一定时，随着df的增加，临界t值在减小，当df=时，临界t值与标准正态分布的临界u值相等。,下一张,主 页,退 出,上一张,