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1、1,我的计算能力很差，连做简单的加法都很少不出错。法庞加莱,数 感 湖南省教科院 黄泽成,2,“数感”这一术语的提出，传递了一个清晰的信息：发展数感必须成为小学数学教学最重要的目标.关于数的教学要超越“计算训练”，让学生在数的学习过程中获得更丰富的数学经验和体验,学到更好的数学.“数感”的提出，涉及到小学数学课程改革的全部：教学的目标、内容、策略、方法与评价等等。,3,数感使人眼中看到的世界有了量化的意味 当我们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然而然地、有意识地与数字联系起来，或者试图进一步用数学的眼光和方法来处理和解释。,4,本讲的主线,一、什么、为什么二、案例三、菜单四、教学策略,5
2、,（一）什么？为什么？,6,国内数感研究,1.马云鹏：(东北师大）数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法做出数学判断，和为解决复杂的问题选择有用的策略。数感是一种主动地、自觉的或自动化的理解和运用数的态度和意识。数感是人的一种基本数学素养。它是建立清晰的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题联系的桥梁。,7,国内数感研究,2.郑毓信：（南京大学）与数学能力即：计算能力、分辨能力、估算能力等相比，强调发展学生的数感传达了一种新的涵义。数感与语感、方向感、美感、质感等都代表一种能力，但与能力相比又都含有一种“直觉感”。而数感通常又并非是一种直觉的过程，仿
3、佛已经成为了主体的一种本领，一种直接的感知，从而在很多情况下甚至是说不清、道不明的。,8,国内数感研究,叶蓓蓓（广西师大）数感是以“数概念”在人脑中的扩展而产生的一种对数学问题的敏感。是一种对数字和数量的直觉，并且是一种敏捷的感知，她可以在较短的时间里通过对数学的“第一印象”反应为数学问题，用数去表示量帮助学生从感知的层面转到数学思维。数感是一种具有培养性的直觉，它通过对“数概念的扩展和延伸反应为数学感知不断提升的灵敏性。数感作为直觉，它具有非逻辑性、非演绎性，反应时间短，稳定性差等特点。,9,国内数感研究,4.史宁中（东北师大）：数感就是对数的感悟。感外部刺激作用于主体而产生。是通过肢体、感
4、官而非大脑思维，它含有原始的、经验的成分。悟是主体自身的，通过大脑思维而产生的。对数的感悟，是既含有感知的成分，有含有思维的成分。,10,国内数感研究,5.徐文彬：（南京师大）数感的“感悟说”，既割离了人的感性认识与理性认识之间的联系，又简单地把二者粘帖在一起。数感的“直觉说”，既不利于对数感的认识，又不利于对学生数感的培养。“敏感说”，混淆了数学与数学观。数感是对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解决数字问题的能力。,11,什么是“数感”简单的回答：关于数的一种很好的直觉（包括与之有关的各种关系）每个学生都有自己特有的“数的世界”：概念的、直觉的与计算的这个“数的世界”是如此的
5、丰富多彩，很难用“计算技能”等来表达。“数感”一词能更好的反映这种多样性具有这种直觉学生才能以一种“智慧”的方式来使用数,12,“数感”到哪里去形成？它是在丰富的、多样的实践活动中逐渐发展起来的（包括生活经验）：数学课程为学生提供了大量的实践机会；日常经验也是学生“数感”发展的重要资源,13,在实践活动中：学生感受到数的具体存在（模型）；“看”到数的作用；用各种方法表示这些数；用数解决遇到的问题；对数进行“计算”操作；用数进行交流；对数的各种关系进行探索；在这个“润物细无声”的积累过程中，每个学生都形成自己特有的“数的世界”（数感）：概念的、直觉的与计算的,14,为什么要强调“数感”？为什么在
6、谈“数的概念”的同时，还要强调“数感”的发展？一种共识，一种共同的追求：一方面数学不是“知识与计算”的简单堆砌；数学不是“冷冰冰的静物”！在学生心目中的“数”也不应当是一堆干巴巴的数字加上一些机械的计算程序！我们的学生也不应当仅仅是能进行熟练计算的“计算器”！,15,另一方面“数感”的提出反映了我们的价值追求：期望学生能够学到更好的数学！学到有意义（能够领会和使用）的数学！对“数感”的强调，正反映了这种追求：数是一个复杂的概念.关于数的教学应当超越数的计算训练，使学生发展对数的更丰富的体验与认识，包括形成更灵活的关于数的直觉。,16,数感的教育价值,我国学者普遍认为，数感的培养：有助于学生数学
7、地理解和解释现实问题；有助于学生提出问题和解决问题的提高；有助于学生发展心算 估算等技巧；有助于发展学生创新精神和实践能力。,17,（二）案 例“数感”有哪些具体表现?我们的教师能从行为与言谈中,敏锐的发现学生对于数的理解,了解学生是如何把握数的,18,学生对数的“感悟”会以各种方式表现出来，是处处“可见”的：它既见诸于解决数学问题的过程,也表现在日常行为之中.计算技能仍然是“数感”的构成要素之一，但仅仅是“之一”而已。学生的“数感”，他们的“数的世界”远比这要丰富。重要的是从各种不同角度来认识数,感受数,形成关于数的更加丰满的体验.,19,案例1女孩数数(弗赖登塔尔)一年级小女孩学习写数.她
8、写下：1,2,3,9(这时需要帮一下)10,11,12,19(这时又可能需要帮一下)90,99(这时需要帮一下)100,109 110,199 写到1024.到此,她不愿再写下去了,说道:就这样继续下去!,20,您对这个活动有何评论？这个女孩学到了什么？你的评价有什么依据？,21,这是很了不起的！“就这样继续下去！”这就是数学。对人类来讲，对这个女孩来讲，她正 在创造自己最早的数学，而且是伟大 而又重要的数学，还是最深奥的数 学。,22,依据：表面上看，写在纸上的数列还在继续，但准确的讲，这是数的记号在继续，是符号的延续。这个女孩突然发现了写出所有数的，非常简单的原理：0的后继是1，。（后继）
9、她也知道，这可以无限的进行下去。由此 可以断言，她已经发现了无限。这在数学上是了不起的。这正是数学的出发点，也是数学的归宿。,23,“就这样继续下去”的原理贯穿于全部算术，无论是时间的无限，还是空间的无限，都靠这个原则去把握。无论从历史的，发生学的还是从系统论的角度看，数的序列都是数学的基石。可以说，没有数的序列就没有数学。问题：你如何解释这一观点？所有无限过程，如都是想象为时间上的无穷无尽。,24,发现学生 以上这些分析对我们的启示:热情 教师应当以巨大智慧与热情，“如数家珍”似的鉴赏 学生的学习进程：从平凡中发现伟大，发现具有潜在价值的“苗子”。问题 如何发现学生活动的价值？这样分析的依据
10、是什么？智慧这就是数感！从数学本身的角度 后继与无限、序数；从学生发展的角度看 顿悟！,25,案例睡莲问题,26,睡莲问题(数学思维训练)湖面有一片睡莲,它的覆盖面积每天要扩大一倍.到第28天,这片睡莲恰好盖满湖面.问:这片睡莲要用几天才能盖满该湖面的一半?,27,4个六年级的学生在讨论一道题,他们的老师站在一边看着，并将谈话记录下来,然后再整理之.学生:甲、乙、丙和丁 教师:T 问题:从下面所提供的这个活动，您观察到什么？关注什么信息?,28,甲 嗨,这题有点意思!乙 那还不变臭啦.丙 睡莲活不了 28 天!甲 怪题.丙 1 天、1 平方寸.加倍,2 平方寸,4,8,16,32,64,128
11、乙 可我们不知道池塘有多大.丁 我知道,它在28天盖满池塘.246.丙 不!256.丁 你是对的;312,不 412,不 512,不,错了 2048,8002.,29,乙 你干什么呢?甲 他错了.乙 我跟你想的不一样.它要你求多长,没问你有 多大.甲 那你也得知道有多大(这时其他人都在计算,并且对 2 的多少次方的得数很感兴趣,直到 16384。)丁 现在我们做到 15了.丙 现在该做什么了?乙 还得继续求它的大小,我们还没有求出要用 多长时间(继续求),30,T 再读一遍题.乙 哈,27个晚上 没意思.我懂了真傻!太容易了!其他人:太明显了.（结束）,31,65536 65536131072
12、,32 768 32 768 65 536,4096 4096 8412,16384 16384 32768,1 2 4 8 16 32 64 128 256 5 121024 20 43 4 0 96 8 1 82 103 8432708 655 36 13 10 12 27个晚上,32,问题:从以上活动，您注意到什么？学生的解题过程大致有什么特点？他们遇到了什么困难？他们使用的策略是什么？学生是如何使用数的？当学生以小组合作形式进行探究(问题解决)活动时，数学教师还关心什么？每个学生的学习方式有何特点？他们怎么合作的？每个人的作用 是什么？,33,案例3“千和万的认识”湖南一师二附小 林
13、玲 二年级下 2008年5月25日 教师出示用透明塑料口袋包装的花生米,问学生:“有多少花生米?”学生回答:1千!5万!10万!,34,目的：l 从时间与空间上认识计数单位百、千和万；l 知道相邻两个计数单位之间的进率是“10”；l 掌握个位至万的数位顺序；l 会读写整百、整千和整万。学具：花生米、杯子、大小不等的容器、计数器等。,35,教学过程1 出示用透明塑料口袋包装的花生米,问学生:“有多少花生米?”学生回答:1千,5万,1 0万2 认识千和万的活动 十个十是一百。选择恰当的容器，数一百粒花生，装入之；十个一百是一千。选择恰当的容器，数一千粒花生，装入之；十个一百是一千。数一万粒花生，选
14、择恰当的容器，装入之。,36,提出的问题 你能说出一些比一百大的数吗？猜一猜，塑料袋里有多少花生米？这里有100粒花生，你能根据这100粒花生占有的空间，选择恰当的容器，装一千粒花生吗？你们是用什么方法数出一千粒花生的?装一万粒花生呢？数100粒花生要用多少时间？（为了统计数花生所用的时间，可以分组活动，并适当的分工。）假设第一小组数100粒花生，用了1 分钟，问：用同样的方法数1000粒花生，大约要用多少时间？问：用同样的方法，数1000粒花生，大约要用多少时间？你能用其他方法数吗？你能用自己喜欢的方法来表现:1，10，100，1000和10000的大小吗?,37,评论:老师提出的问题都有效
15、吗？为什么学生的估计差异如此之大?一些师范大学毕业生回顾过去数学学习时,都有一个共同的感受:缺乏“数感”.讨论:感受大数感受大数的基础是对“大数”本身的认识:100；1000；10000，从数学本身的角度:10n.从数学与生活实际的结合的角度(从时间和空间),38,几种主要的数感能力,数数、认数、序数、基数 模式 数物对应、图形 关系与联系 估算、计算、比较 问题解决,39,（三）菜 单 能把“数感”所包含的内容说得更具体些吗？（象开一张“菜单”）,40,“数感”包括如下成分:1、理解数的意义；2、用多种方法表示数；3、能在具体情景中把握数的大小关系；4、用数表达和交流信息；5、能为解决问题而
16、选择适当的算法；6、能估计运算的结果;7、能对结果的合理性做出解释。-数学课程标准,41,数学课程标准(修订稿),数感主要是指:1、关于数与数量表示；2、数量的大小比较；3、对数量的估计；4、对运算结果的估计；5、对各种数量关系的感悟.建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中数量关系。,42,对“数的意义”的理解 重要的是认识与感受“数”的意义，特别是“数”所包含的模式.从可感知的现实背景,理解数的实际含义：一朵花有六个花瓣,而那朵花也有六个花瓣。而后数“六”成为抽象的独立事物.这就是模式!我们不要孤立的看数.例1中的那个女生，她感受到了“继续下去”,知道“0的后面是1”
17、，“1 的后面是2”，发现了“后继数”!这就是最重要的模式或规律,43,学生抽象思维的发展可能会存在巨大的差异.例如,有的学生可能很难把分数“1/2”与具体的”西瓜”、“蛋糕”分开。我们应当允许学生在不同的抽象水平理解数,等待并创造机会使这些学生逐步越上新的思维水平。,44,用符号表示数 人们发明了各种符号表示数.学生要经历与体验关于数的符号的发生过程,理解”位值”(各种进位法)这一重要的表示法.多种表示例1中的那个女生正是从数的符号中,看到了某种模式.,45,计算与估算 计算本身就是“数系”的一个有机部分.根据规则对数（数学符号）进行操作,这是“数感”的重要内容.但计算应当是有意义的活动,而
18、不是“符号游戏”!例2 学生丙 擅长计算,他最后算出了215!但对笔下的215意味着什么,却麻木不仁.学生乙 却能以一种“聪明”的方式来使用数.,46,l 数与数之间的关系“数系”的另一个有机部分是数之间的关系（例如大小关系）.计算也是揭示数之间关系的重要手段.除了根据“算法”，可以对数作精确的比较外，还能凭直觉的感知，判断这个数很大，那个数比较小。在 例2中，当学生把28天和睡莲联系起来后，便得出结论：睡莲活不了这么久，会变腐烂的！例3中的学生显然不能想象“10万粒黄豆”有多少！,47,交 流在交流中，恰当的用数表达和解释信息这涉及到观察，对现实事物中的数具有敏锐感知，也涉及到用数来描述周边
19、的事物（例如，事物的大小、门牌号数等）。交流是双向的：会讲.会听：当他人的讲述用到数来交流信息时，能根据背景理解数的含义，并能进行交流。,48,解决问题 对于遇到的问题(包括生活中问题),能有应用数的意识,并能恰当的选择数及算法。进行观察 提出问题做出判断构造假设做出选择实施计划自我监督合作交流计算结果的估测评价反思,数,49,(四)教学策略 如何培养学生的“数感”?,50,发展“数感”使我们的教师摆脱了某些束缚,从而获得了更大的自由,使教师能在教学方法上有更多的选择。从新的视角认识与扬弃传统的成功教学经验。关键是:为了发展对数的更丰富的体验与认识，包括形成更灵活的关于数的直觉(对数的驾驭能力
20、),我们不再把目光集中在狭小的“计算训练”范围。,51,l注意现实与数量的联系小学数学教学的一个好传统也许是：注意联系实际。对数感的强调，也许能使我们更好发扬这个传统,从“数感”发展的角度，设计新的实际情境.l让学生经历”数学化”“知识形成过程，就是”数学化”的过程。这是最重要的数学思想。例1中的女孩 她在“机械”的数数过程中发现了重要的规律。她不能用语言来表达，但却感受到写出自然数的规律。她用这个数学思想来把握数(数学化)!对这个规律的认识（甚至只是模糊的）也是以后掌握数的运算的基础。,52,l在数的运算中发展数感 对“数感”的强调使我们反思：为什么要培养计算能力？应当重视计算能力的培养，因
21、为必要的计算技能是建立“数感”的前提。“熟能生巧”熟练的运算有助于发展对数感的某些方面.但过分沉溺于机械化技能,追求无用的雕虫小技,不利于“数感”的发展,反而有害?问题是:如何把握适度?在计算教学中,应当注意:对运算方法的判断;对运算结果的估计;对口算的训练;对算法多样的倡导.例2中的学生丙就是一个例子。他非常认真的忙于计算，但不知道自己要做什么.,53,数学教师应当知道，存在着各种各样的数学问题，而不同的问题又可服务于不同的数学教学目标。还应当注意，在一种环境下所提出的问题或情境也许完全不适合另一种环境或场合。因此，数学教师必须对问题的选择有十分清楚的认识,他们必须自己决定：让自己的学生解决什么样的问题。,54,真正决定数学课程变革的，不是写在书本上的各种观念、理念与规定，而是天天和学生接触的教师。专家教授花了大量的精力，认真准备开发了课程标准和教材，但是一到学校，数学教师一个人便决定了一切。,55,您的倾听是我的荣幸湖南省教科院 黄泽成E-mail：,
