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1、第八章、玻色统计和费米统计,(一)、热力学量的统计表达式,MB 分布,则量子效应就必须考虑，需要用量子统计,：玻色分布：费米分布,我们引进巨配分函数：,（，y）的函数,取对数：,平均粒子数：,总能量：,外界对系统的广义力：,利用上述公式得到：,对于一个孤立的系统，粒子数目的变化为零，有：,根据热力学第二定律：,根据ln 的定义，以及最可几分布给出的参数间的关系，可以得到玻尔兹曼关系式：，其中我们已经取积分常数为零。,对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有：,在热力学中，我们知道：,。,对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求出了系统的巨配分函数的对数ln，就可以求出系统的平均粒子数、内能、物
2、态方程、熵等，从而确定系统的所有的平衡性质。ln是以，y（对应简单系统，即：T，V，）为自然变量的特征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是巨热力势JUTS N。这样，我们得到巨热力势用ln表示的形式：。所以：知道粒子的能级和简并度，就可以求出所有的热力学函数，确定系统的平衡性质：,(二)、弱简并的玻色和费米气体,我们知道，一般气体满足经典极限条件，可以用玻尔兹曼分布处理。这种气体称为非简并性气体。需要利用玻色和费米分布讨论的气体称为简并气体。首先，讨论弱简并的玻色、费米气体的特性。,为了简单，不考虑分子的内部结构。只有平动自由度，分子的能量为：。在体积V内，在能量从到d的范围内，分子可能的
3、状态数目为：,g为粒子的自旋自由度引入的简并度,系统的总分子数满足：据此可以求出系数。,系统的内能U为：,两个被积函数的分母可以写成：,令：,在e1的情况下，e-x是一个小量，因此可以将右式中括弧内的项展成级数。只取前两项，有：,两式相除得到右式：,上式中第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能；第二项是在考虑弱简并情况下，由微观粒子的全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能。值得注意的是：该附加内能对玻色气体为负；对费米气体为正。可以认为：粒子的统计关联使得费米粒子出现排斥作用，玻色粒子出现等效的吸引作用。,(三)、玻色爱因斯坦凝聚,前面讨论过非简并和弱简并玻色气体的情况。现在我们讨论简并理想
4、玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚现象。,为了简单，假设粒子的自旋量子数为零，根据玻色分布，有：,由于处在任意能级上的粒子数目不能为负数。所以：,理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果假设粒子的最低能级（基态）能量0，则有：0，可以求出：,化学势为温度T和粒子数密度n的函数。,化学势为温度T和粒子数密度n的函数。在粒子数密度n不变的情况下，温度越低，化学势越高。,如果上式可以用积分代替，则有：,化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于某一临界温度Tc时，化学势将趋于零（假设基态能量0）。,当温度降低到临界温度Tc时，临界温度Tc由下式计算：,00,粒子能级,T，,这说明，在利用
5、积分式求化学势时，当温度低于Tc后，我们不可能获得负的化学势。这显然与理想玻色气体的化学势始终为负值相矛盾。,式中，实际上基态（能量0的能级）的贡献被忽略了。在温度足够高时，问题不大。因为基态上的粒子数目很小。,在低温情况下，粒子将尽可能占据能量低的能级。由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因而不能忽略。在TTc时，有：,第一项为基态的贡献；第二项为激发态的贡献。计算中取=0。,首先我们计算在TTc时激发态对粒子数密度的贡献n。,那么基态对离子数密度的贡献为：,这说明，在TTc时，玻色粒子将在基态（能级0）上凝聚。其粒子数密度n0与总的粒子
6、数密度n具有相同的量级。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein-Condensation)，温度Tc称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为零、系统的熵也为零：动量空间的凝聚。,在T0上的粒子的能量和。,定容热容量为：,在TT c时理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比。当温度到达T c时，热容量达到极大值。温度超高T c后，热容量慢慢从极大值回落到经典极限值3/2Nk。可以证明，系统的热容量是连续变化的，但是，热容量对于温度的导数是不连续的。这说明：Bose-Einstein-Condensation是一个三级相变。,近年来，利用激光冷却原子的技术，观察到了玻色爱
7、因斯坦凝聚现象。,(四)、光子气体,在热力学中知道，平衡辐射的内能密度和内能密度的平率分布只与温度有关，而且内能密度与绝对温度的四次方成正比。,可以将空窖内的辐射场看作是光子气体。具有以下关系式：,光子是玻色子，平衡时服从玻色分布。由于空窖不断发射和吸收光子，光子气体中光子的数目时不守恒的。在导出玻色分布时，只能引入一个乘子。所以：0。即：平衡状态下光子气体的化学势为零。,光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向上的投影有 两个可能值。所以在体积为V的空窖内，在动量从p到pdp范围内，光子的量子态数目为：,其中利用了光子的动量与圆频率间的关系：,平均光子数目为：,上式给出了辐射场内能按频率和温度的
8、分布：普朗克公式。,维恩位移定律：,现在讨论在低频和高频极限时的结果。低频时：,辐射场内能为：,瑞利金斯公式,高频范围内：,与1896年维恩获得的公式相同,这说明，在温度为T的平衡辐射中，高频光子几乎是不存在的。或者说，温度为T的空窖发射能量远远大于kT的光子的可能性是极小的。,空窖辐射的内能为：,空窖内的内能密度为：,即：与温度的四次方成正比。这就是热力学中的斯特藩玻尔兹曼定律。,另外，根据普朗克公式，内能密度随着频率的分布有一个极大值wm。可以从下式得到维恩位移定律（wm与温度成正比）。,(五)、强简并理想费米气体 金属中的自由电子,原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属中自由运动。
9、失去价电子后的原子变成离子。由于离子空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期势场。电子在周期势场中运动。为了简单，采用自由电子模型，把价电子看作是在恒定的势阱中的自由电子，形成自由电子气。根据费米分布，温度为T时处在一个能量为的量子态上的平均电子数目为：,考虑到电子的自旋，在体积V内，能量从到 d 范围内的电子的量子态数目为：,所以在体积V内，能量从到 d 范围内的平均电子数目为：,1、讨论温度T0K时的情况,在T0K时，能量小于化学势的能级都被占据了；能量高于化学势的能级都空着。根据泡里不相容原理，化学势是0K时电子的最大能量。,0K时的化学势（0）可以由下式得到：,0K时电子的最大动量，
10、称为费米动量。0K时电子气的内能为：,0,1,（0）,0K时电子的平均能量为3(0)/5。,现在对0K时的化学势（0）作一个估计。以Cu为例，N/V=8.5X1023m-3，(0)=1.1X10-18J。定义费米温度：得到Cu的费米温度TF为7.8X104K。在一般温度下金属中自由电子气的化学势与0K时近似相等，所以化学势也被称为费米能级。由于 kT，e0K时，有：,温度不为零时，在与相差kT量级的范围内分布函数发生了变化。热激发将电子激发到能量稍高一些的能级上。,从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。,粗略估计以下
11、。假设对热容量有贡献的电子数目为：,利用能量均分定理，金属中自由电子对热容量的贡献为：,在室温范围内，T/TF1/260，所以，电子的贡献很小，可忽略。,对自由电子气体的热容量进行定量计算。化学势由下式决定。,利用右式求出化学势后，可以计算系统的内能：,对于粒子数和内能分别为：,这两个积分式子可以写成：,令,粒子数和内能分别为：,可以证明：,有：,当T0K时，,利用kT/(0)代替 kT/，有：,系统的内能近似为：,热容量近似为：,前面的粗略估计为：两者相差一个系数。,由于费米温度很高，在常温下电子对热容量的贡献可以忽略不计。但是当温度很低时，由于离子振动的贡献按照T3衰减，电子热容量不能忽略不计。以Cu为例，D345K，TF7.8X104 K。,单位时间内，碰到单位面积的金属表面上，动量在dpxdpydpz范围内的电子数目为：,满足x的电子可以摆脱金属的束缚到达金属外。发射电流为：,(六)、热电子发射,在一般情况下，1：,功函数W一般是电子伏特的量级，因此一般在高温下（103K）才会发生可观的热电子发射。功函数越大，发射需要的温度越高。同样的温度下，功函数小的发射电流大。,
