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1、BCH码与RS码,BCH码,定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF(qm),其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下d-1个连续根，as,as+1,as+d-2 时，则由g(x)生成的循环码为q进制BCH码。a是域GF(qm)中的n级元素mi(x)和ei分别是as+i(i=0,d-2)元素的最小多项式和级，g(x)=LCM(m0(x),m1(x),md-2(x)n=LCM(e0,e1,ed-2)本原BCH码，非本原BCH码,BCH码,BCH限：BCH码的最小距离dBCH至少为dHT限：若BCH码的生成多项式g(x)
2、的根集R中含有s组d-1个a的连续元素，且(n,a)=1，aGF(qm)是n级元素，则码的最小距离dHT=d+s-1,BCH码的设计距离和实际距离,二进制本原BCH码的码长n=2m-1，设计距离d若为2t+1,则若 当t0，则码的实际距离等于设计距离。若码长n=ab，且二进制BCH码的设计距离d=a，则a是码的实际距离长为n=qm-1的GF(q)上的BCH码，若有设计距离d=qh-1，则码的实际距离等于d设计距离为d的GF(q)上的本原BCH码，它的实际最小距离d=qd+q-2,二进制BCH码,对任何正整数m和t，一定存在一个二进制BCH码，它以a,a3,a2t-1为根，其码长n=2m-1或是
3、2m-1的因子，能纠正t个随机错误，校验位数目至多为deg(g(x)=mt个。Eg：m=4,aGF(24)是本原域元素，它是x4+x+1的根，求码长n=24-1=15的二进制BCH码。,BCH码的扩展,n,k,d n+1,k,d+1 d为奇数2m-1,k,d本原BCH码2m,k,d+1扩展本原BCH码,RS码,GF(q)(q2)上，码长N=q-1的本原BCH码称为RS码RS码的码元的符号域与根域一致RS码是极大最小距离可分码，MDS码,RS码,RS码的参数：q-1,k,q-k q-1,q-1-(d-1),d常用RS码：GF(23)上的255,k,255-k+1 光盘、硬盘等磁记录信道应用,RS
4、码的扩展,对RS码而言，增加一个全校验位，总可使最小距离增加1.N=qm-1,K,D N+1,K,D+1双扩展RS码qm+1,k,qm-k+2扩展RS码与双扩展RS码都是极大最小距离可分码。RS码的映射扩展码：(m+1)(2m-1),mK,d=2D=2(2m-K)双重映射扩展码：(m+1)2m,mK,d=2D=2(2m-K+1)以a,a2,aD-1为根的N=2m-1,K,DGF(2m)上的RS码，包含了码长为N、距离等于D的二进制本原BCH码。类似的，扩展RS码包含了扩展BCH码,BCH码的一般译码,彼得逊Peterson 1960迭代译码 波力坎普Berlekamp 1966BM算法 Mas
5、sey 1969频域译码 Blahut 1978超设计距离译码,BCH码的一般译码,根据接收序列计算伴随式由伴随式找错误图样根据错误图样和接收序列得到可能发送的码字,BCH码的译码,令,，则有,加权幂和对称函数,2t个方程，2t个未知数，非线性方程组求解,错误位置多项式,初等幂和对称函数,t个方程，t个未知数，有解的充要条件是M矩阵满秩,Ms=-S,如果sj(j=m0,m0+1,m0+t-1)是由t个不同的非零数对(xi,Yi)组成，则矩阵,满秩，否则为非满秩,钱搜索,解s(x)的根即确定R(x)中错误的位置。若判断第一位rn-1是否有错，则相当于译码器确定an-1是否是错误位置数，等价于检验a-(n-1)=a是否是s(x)的根。s1al+s2a2l+statl=-1 rn-1有错 s1al+s2a2l+statl-1 rn-1正确,n级缓冲存储器,a,a2,at,s1,s2,st,门,输入R(x),Yi,输出C(x),钱搜索电路,BCH码的译码,由接收到的R(x)，求sj由si求错误位置多项式用钱搜索解出s(x)的根，得到错误位置数，确定错误位置根据错误位置数求错误值，从而得到错误图样根据接收值和错误图样，计算发送码字,BCH码的迭代译码,BM算法易于用计算机完成译码关键是加快求s(x)的速度,BM算法基本原理,设,令,表示上述二者乘积,由于,
