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1、1.4 条件概率,一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式四 贝叶斯公式,一 条 件 概 率,描述随机试验的概率模型是,概率模型是由,随机试验的“一定条件”来决定的。,在知到事件A己发生的信息后，样本空间就由缩小为A，概率测度就由无条件概率P()变为条件概率P(|A)。,这个“一定条件”就是关于随机试验的先验信息。,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是在事件 A 已经出现的条件下事件 B 出现的概率。,一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：,例1,从这批产品中随意地取一件，,则这件产品是次品的概率为：,在已知取出的产品是甲厂生产的条件下，则,它是次品的概率为：,P(B)
2、=,P(AB)=,B=“取出的产品为次品”,A=“取出的产品是甲厂生产的”,P(A)=,AB=“取出的产品是甲厂生产的次品”,若中有n个样本点,A中有m个样本点,AB中有k个样本点，则,古典概型中条件概率的计算公式,在几何概型中，,在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有,为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率.,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,称,条件概率的定义,容易验证，条件概率P(|A)符合概率定义中的三个条件1 非负性：对于每一事件B，有P(B|A)0；2 规范性：对于必然事件，有P(|A)=1；3 可列可加性：设B1，B2，是两两互不相容的事件，则有,例 1.19,
3、解,已知第二次取到的是黑球的条件下，第一次取到的是黑球的概率与已知第一次取到的是黑球的条件下，第二次取到的是黑球的概率相同.,P(B|A)与P(B)的大小的比较,1.AB=，P(B|A)=,4.若AB且无包含关系，则P(AB)的大小决定 P(B|A)与P(B)的大小关系。,比如对P(A)=0.5,P(B)=0.4,2.若,3.若,0,P(B),说明,在有些问题中，事件A与事件B之间存在因果关系。若条件A是引起事件B的原因，此时条件概率P(B|A)表示原因A引起结果B的概率。若条件A是由事件B引起的结果，此时条件概率P(B|A)表示结果A由原因B引起的概率。,二、乘法公式,由条件概率的计算公式(
4、P(A)0),我们得,这就是两个事件的乘法公式,两个事件的乘法公式,P(B|A)是指在A发生的条件下B发生的概率，P(AB)则是指A、B同时发生的概率。“A发生”在P(B|A)中是作为条件，在P(AB)中是作为结果。,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,例1.20,某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随机地抽取一件，求该件产品是甲产生产的次品的概率。,例1.21,一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的都是黑球的概率。,三、全 概 率 公 式,设随机事件,满足：,全概率公式的使用1,“
5、全”概率P(B)被分解成许多部分之和，其理论和实际意义在于，在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地构造这一组Ai往往可以简化计算。,例1.22,一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求第二次取到的是黑球的概率。,全概率公式的使用2,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率。,把A1，A2，An看成该过程的若干个原因,例1.23,人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利
6、率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票价格上涨的概率。,四、贝叶斯(Bayes)公式,设随机事件,满足,条件概率定义,乘法公式,则对任一概率在于0的事件B，有,全概率公式,Thomas Bayes,Born:1702 in London,EnglandDied:17 Apr.1761 in Tunbridge Wells,Kent,England,贝叶斯公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果在试验中，出现了事件B，要求由第k个原因引起事件B的概率，则用贝叶斯公式。,把A1，A2，An看成该过程的若干个原因,例1.24,一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求已知第二次取到的是黑球的条件下，第一次取到的是黑球的的概率。,例1.25,设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从这批产品中随机地抽取一件(1)求取到的是次品的概率。(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率。,
