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1、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,一、泰勒(Taylor)级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题,1.如果函数能展成幂级数，系数是什么？,以及展开式是否唯一？,2.在什么条件下才能展开成幂级数？,由上一节的学习，我们知道幂级数有非常好的性质，,所以我们想把函数写成一个幂级数，即,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时
2、,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它是否收敛？,定义:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,待解决的问题：,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,可见,在x=0点任意可导,泰勒级数是否收敛于 f(x)?,不一定。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于f(x)的泰勒级数收敛于 f(x)的条件，我们有定理：,定理2.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,证明（必要性）,令,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束,各阶导数,则 f(x)在
3、该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,证明:（充分性）,令,定理 2：设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束,f(x)的泰勒公式:,即f(x)的泰勒级数收敛于 f(x)。,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.将函
4、数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可推出:,(P205 例4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.将函数,展开成 x 的幂级数,其中a,为任意常数.,解:易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为避免研究余项,设此级数的和
5、函数为,称为二项展开式.,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 a 有关.,(2)当 a 为正整数时,级数为 x 的 a 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,对应,的二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,
6、所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.将,在 x=1 处展开成幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 m=1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 附注,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时,此级数条件收敛,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒(Taylor)公式,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
