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1、,第二节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十一章,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域 D 边界L 的正向:域的内部靠左,定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,先证,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2)若D不满足以上条件,
2、则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,3)若D是多连通区域,则可通过加辅助线将其转换,为单连通区域,如图,证毕,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,L1,L2,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:取,则,利用格林公式,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例
3、3.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在D 内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例5.计算,其中L是,解:补入线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与L围成封闭区域,则根据格林公式,得,例6.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,动手题1.计算,其中L是取逆时针方向,解一（不用格林公式）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解二（使用格林公式）,【课本
4、练习题】,动手题2.计算,其中L 为,从 O(0,0)到 A(4,0).,提示:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L,原式,上半圆周,所围区域为D,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,补充题 1.设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提高题,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提高题,证明,机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,势函数,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则
6、,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,根据定理2,若在某区域D内,则,2)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,
7、3)不定积分法和凑微分法亦可求d u=P dx+Q dy在,区域D 内的原函数，有时会很简单哟。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例6.,例7.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,解一:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,解二:设,对式对x 积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对上式对y 求导，再与式对等,不定积分法,例8.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,机动
8、目录 上页 下页 返回 结束,全微分法：,例9.设质点在力场,作用下沿曲线 L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:积分路径是否可以取,取圆弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设,提示:,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,请分别用线积分、凑微分和不定积分法完成。,技巧题 已知曲线积分,与路径无关,其中,求由,确定的函数,解:,因积分与路径无关,故有,即,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
