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1、第五章,定积分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的性质,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1)大化小.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物
2、体所经过的路程 s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义(P225),任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f(x)在 a,b 上可积.,记作,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充
3、分条件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证明略),例1.利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分,分点为,注,注,注.当n 较大时,此值可作为 的近似值,注 利用,得,两端分别相加,得,即,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),证:,=右端,证:当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,则有,6.若在 a,b 上,则,证:,推论1.若在 a,b 上,则,推论2.,证:,即,7.设,则,例4.试证:,证:设,即,故,即,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,2.定积分的性质,3.积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分的思想：,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解:,或,作业,P202 A部分：1(1)2(1)(3)(5)3(1)(3)4(2),(3)B部分：2(1)4(2),第二节,
