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1、提问：数值分析是做什么用的？,第一章 误差/*Error*/,1 误差的背景介绍/*Introduction*/,1.来源与分类/*Source&Classification*/,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差/*Modeling Error*/,通过测量得到模型中参数的值 观测误差/*Measurement Error*/,求近似解 方法误差(截断误差/*Truncation Error*/),机器字长有限 舍入误差/*Roundoff Error*/,1 Introduction:Source&Classification,1 Introduction:Source&Classifi
2、cation,大家一起猜？,1,1/e,解法之一：将 作Taylor展开后再积分,|舍入误差/*Roundoff Error*/|,=0.747,由截去部分/*excluded terms*/引起,由留下部分/*included terms*/引起,例：近似计算,据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上
3、空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长:根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。,1 Introduction:Spread&Accumulation,2.传播与积累/*Spread&Accumu
4、lation*/,例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！,NY,BJ,以上是一个病态问题/*ill-posed problem*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！,1 Introduction:Spread&Accumulation,例：计算,公式一：,注意此公式精确成立,?,?,?!,!,What happened?!,1 Introduction:Spread&Accumulation,考察第n步的误差,公式二：,注意此公式与公式一在理论上等价。,方法：先估计一个IN,再反推要求的In(n N)。,可取,1 Introduction:Spr
5、ead&Accumulation,取,1 Introduction:Spread&Accumulation,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n N 有：,误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stable algorithm*/,在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2 误差与有效数字/*Error and Significant Digits*/,绝对误差/*absolute error*/,其中x为精确值，x*为x的近似值。,Hey isnt it simple?,Oh yeah?Then tell me the absolute error o
6、f,Oops!,注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。e*0 不唯一，当然 e*越小越具有参考价值。,I can tell that this parts diameter is 20cm1cm.,I can tell that distance between two planets is 1 million light year 1 light year.,Of course mine is more accurate!The accuracy relates to not only the absolute error,but also to the size of the
7、 exact value.,2 Error and Significant Digits,相对误差/*relative error*/,Now I wouldnt call it simple.Say what is the relative error of 20cm1cm?,Dont tell me its 5%because,But what kind of information does that 5%give us anyway?,x 的相对误差上限/*relative accuracy*/定义为,注：从 的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格
8、的说法是，与 是否反映了同一数量级的误差？关于此问题的详细讨论可见教材第3页。,2 Error and Significant Digits,有效数字/*significant digits*/,用科学计数法，记（其中）。若（即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到。,4,3,注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！,2 Error and Significant Digits,有效数字与相对误差的关系,有效数字 相对误差限,已知 x*有 n 位有效数字，则其相对误差限为
9、,相对误差限 有效数字,2 Error and Significant Digits,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设*取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1=3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取*=3.14159。,3 函数的误差估计/*Error Estimation for Functions*/,问题：对于 y=f(x)，若用 x*取代 x，将对y 产生什么影响？,分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*x,Mean Value Theorem,
10、=f()(x*x),x*与 x 非常接近时，可认为 f()f(x*)，则有：|e*(y)|f(x*)|e*(x)|,即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了|f(x*)|倍。故称|f(x*)|为放大因子/*amplification factor*/或 绝对条件数/*absolute condition number*/.,3 Error Estimation for Functions,相对误差条件数/*relative condition number*/,f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的/*well-conditioned*/坏条件的/*ill-condit
11、ioned*/。,3 Error Estimation for Functions,例:计算 y=ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1%?,解：设截取 n 位有效数字后得 x*x，则,估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系,n 4,例：计算，取 4 位有效，即,则相对误差,4 几点注意事项/*Remarks*/,1.避免相近二数相减(详细分析请参阅教材p.6-p.7),例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而 a2 a1=0.00001，只剩下1位有效数字。,几种经验性避免方法：,当|x|1 时：,更多技巧请见教材第8
12、页习题6。,4 Remarks,2.避免小分母:分母小会造成浮点溢出/*over flow*/,3.避免大数吃小数,例：用单精度计算 的根。,精确解为,算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1=0.0000000001 1010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,4 Remarks,算法2：先解出 再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到
13、大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+109,4.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,5.选用稳定的算法。,HW:p.8-9#1,#7Self-study Ch.2-1,Excuses for not doing homeworkI accidentally divided by zeroand my paper burst into flames.,which implies(1)=1.0.One can then produce a series for(x)(1)which converges faster than the origi
14、nal series.This series not only converges much faster,it also reduces roundoff loss.This process of finding a faster converging series may be repeated again on the second series to produce a third sequence,which converges even more rapidly than the second.The following equation is helpful in determining how may items are required in summing the series above.,
