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1、连续小波变换,连续小波变换,连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地”移近”观察。对于小波函数(t)，函数 的连续小波变换为 也常记为 上面用到了,小波变换的计算,注意第2讲中函数 的卷枳定义记，连续小波变换可写为卷积 其中证明 事实上，由卷积的定义，得再注意，即可得证。,小波变换性质,定理 设是小波而，则(线性)(平移)其中 是平移算子。(3)(伸缩)其中 是伸缩算子。,小波变换性质(续),(4)(对称性)(5)(奇偶性)其中P是反射算子(奇偶算子)(6
2、)(反线性性)(7)(小波平移)(8)(小波伸缩),小波重构,如果是一个基小波，则有Parseval恒等式以及重构公式上面讨a的积分是从负无穷到正无穷的。由于a代表频率的变化，这时有正频率也有负频率。在信号分析中，我们只考虑正频率。,小波重构(续),由伸缩因子a 对频率的影响可以看到，频率变量是膨账参数a 的倒数的正的常数倍，例如，写为，其中 是 的中心(假定 总是正的)，这样，我们只需考虑a的正值。在连续小波变换重构f 中，现在只允许使用值。这时，对小波还需加上进一步的限制,小波重构(续2),定理 令是满足上述条件(1)的基小波，那么 对所有 成立。进而,对于任何 和在f 的连续点，有 附注
3、 定理的证明完全类似于不限制a的情形,只需注意,不同小波的重构公式,上面重构公式与Parseval恒等式要求f,g 的小波变换都是对同一小波进行的。如使用不同小波进行变换，容许性条件变为这时的Parseval恒等式是重构公式是这时要对 加上较多条件:,是可微的,且 并且,小波生成方法,Gauss小波和Mexic帽小波是Gauss函数的一、二阶导数生成的。这样由光滑函数的导数得到小波函数的作法对一般情形也成立。设(t)是光滑函数，满足 则 就一定是小波函数，因为如果(t)是满足容许性条件的基小波，则由下述定理可以构造更多的基小波。定理 如果是一个基小波，是一个有界可积函数，那么卷积 是基小波。,
4、小波的光滑性与局部化性质,当对小波附加了容许性条件后，应用中有时还需要小波满足其它的性质，例如，要求小波是n次连续可微的或是无限可微的。用卷积方法可以增加小波的光滑性。例如是Haar小波是Haar(尺度)函数，如果与微n+1次卷积，则 是n次连续可微的。上个例子给出的小波是无限可微的,Mexic帽小波也是无限可微的。除了小波的光滑性外，小波还需要描述的另一个性质是局部化性质。我们想在时间与频率方面都有好的局部化。,局部化性质与消失矩,对于时域局部化，和它的导数当t0时必须很快地衰减。对于频率局部化，当0必须充分快地衰减，并且 在=0的邻域中是低平的。消失距 在=0的低平性依赖于的变为零的矩量的
5、数目。的k 阶矩定又为 称小波具有n 阶消失矩(即n 阶矩量变零)，如果 或等价地,连续小波变换,小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类,（重新审视）,小波及连续小波变换,设函数,，并且,，即,，则称,为一个基本小波或母小波。,(连续)小波函数,a和b的意义,性质：线性性质 平移不变性.,小波及连续小波变换,设函数,则称,为一个允许小波。,若,允许条件与,几乎是等价条件.,常用的基本小波,Haar小波,常用的基本小波,2.Daubechies小波,D4尺度函数与小波,D6尺度函数与小波,常用的基本小波,3、双正交小波,双正交B样条小波（5-3）、（9-
6、7）小波滤波器,bior2.2,bior4.4,（7-5）小波滤波器:,常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。,常用的基本小波,4.Morlet小波,Morlet小波不存在尺度函数;快速衰减但非紧支撑.,Morlet小波是Gabor 小波的特例。,Gabor 小波,Morlet小波,常用的基本小波,5.高斯小波,这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。,特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。,常用的基本小波,6.Marr小波,这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋
7、脊型边界和Dirac边缘的提取。,（也叫墨西哥草帽小波）,特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。,常用的基本小波,7.Meyer小波,它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：,常用的基本小波,8.Shannon小波,在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。,常用的基本小波,9.Battle-Lemarie样条小波,Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形,时频分析,1.Fourier变换,Fourier变换没
8、有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。,2.短时Fourier变换,短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。,非平凡函数,称为窗函数，,如果,窗口Fourier变换,通常我们用,作为窗函数,的宽度的度量。,窗口Fourier变换：,大致反映了,在时刻 b、频率为,的信号成分的相对含量。,窗口Fourier变换,给出了,在,的时间窗,内的局部化信息。,短时Fourier变换,若,及其Fouri
9、er变换,都是窗口函数,，则称,为短时Fourier变换。,同时给出了,在时间窗,内的局部化信息。,特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，,相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。,和频率窗,时间-频率窗,的特性：不变的宽度,和固定的窗面积,测不准原理：,应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。,小波时频分析,小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。,假设,是任一基本小波，并且,与,都是窗函数，,与半径分别为,它们的中心,，,，,和,。,不妨设,和尺度 a都是正数。,给出了,在时间窗,内的局部化信息。,给出了,在频域窗,内的局部化信息。,小波时频分析,内的局部化信息,若用
10、,作为频率变量,，则,给出了信号,在时间频率平面（,平面）中一个矩形的时间频率窗,即小波变换具有时频局部化特征。,窗宽:,面积:,的宽度是,宽度的,倍.,检测信号,的高频成分需用,具有比较小的,的分析小波,变窄，并在高频区域对信号进行细节分析.,.这时时间窗会自动,各种变换的比较,小波变换的特性分解种类：时间-尺度或时间-频率分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。小波函数的伸缩改变其窗口大小。变量：尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。适应场合：非平稳信号,Fourier变换的特性 分解种类：频率 分析函数：正弦
11、函数，余弦函数 变量：频率 信息：组成信号的频率 适应场合：平稳信号 算法复杂度：,短时Fourier变换的特性 分解种类：时间-频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置 信息：窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越大，频率局部化越好,此时时间局部化较差.适应场合：次稳定信号,连续小波变换的计算,数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）,在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。,连续小波变换的结果的显示方式：灰度表示，三维表示,连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点,2,4,8,16,32
12、,1，2，,32,小波变换的分类,中,三个变量均为连续变量，,离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：,通过对它们施加不同的,离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换,只对a,b离散化,：只对a离散化,离散小波及离散（参数）小波变换,令参数,，,，其中,，则离散（参数）小波为：,在这种情况下，常用,记,，即,相应于离散小波,的离散（参数）小波变换为：,重构问题：,在满足什么条件下，可以由离散小波变换,重构原信号？,可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。,离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论,尺度离散化：,实际工作中最常见的情况是
13、,将尺度 a按照二进尺度离散化,此时a 取值为,位移离散化：,当a=2-J(也就是j=J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样.b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率).每经过一次小波变换,其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.,离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论,变为,为简化书写,通常认为b0=1,以归一.并记,即对于分辨率j,b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时,也就是把b轴用b0加,二进小波及二进小波变换,在连续小波变换中，令参数,，,，而参数b仍取连续值.,则有二进小波：,这时，,的二进小波变换定义为：,重构问题：,在满足什么条件下，可以由二进小波变换,重构原信号？,重要性质：,二进小波变换仍具有连续小波变换的平移不变性.,
