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1、与,算术平均数,几何平均数,2006.12,问题情境,今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量。这种说法对吗？,考点聚焦,掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。,1.均值不等式定理及其重要变形：,相关定理,2.不等式链：,相关定理,3.均值不等式定理的适当推广：,特别提示,1二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。,2“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。口诀：一“
2、正”，二“定”，三“等号”。,3创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或拼凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于等号能够成立。,点击高考,B,B,1.（2002年北京、春）设a、bR+，且a+b=2,则3a+3b的最小值是（）。A18 B.6 C.2 D.22.（2005年全国）若ab1,P=,Q=,R=,则（）。ARPQ B.PQR C.QPR D.PRQ3.（2004年全国）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是。,题型一、利用基本不等式求最值,【例1】(1)已知求函数 的最大值；,【例1】(2)已知 x0，y0，且求x+y的最小值；,变式:已知 且,求 的最小值.,解:将
3、式中的常数1代换成,则,当且仅当 且 即 时上式取等号.,题型二、利用基本不等式证明不等式,【例2】已知a，b，cR，求证：,小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。,所以,证一：a,b,c为不等正数，且abc=1,证二：a,b,c为不等正数，且abc=1,练习、已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：,题型三、基本不等式的综合应用,【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，试算：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过
4、预算，那么正面铁栅应设计为多长？,解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系。,设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有：S=xy,由题意得40 x+245y+20 xy=3200,因此S最大允许值是100米2，取得此最大值的条件是40 x=90y而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米。,课堂小结,1.在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足“正”、“定”、“等”的条件。,2.正确理解：“和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小。”,3.注意掌握均值不等式的逆用、变形等，注重数学的思维和能力的培养。,研究性问题,有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？,有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？,有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？,欢迎指导,再见,
