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1、*3 上极限和下极限,数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过,一、上(下)极限的基本概念,程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.,极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课,考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上,册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所,它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下,二、上(下)极限的基本性质,返回,一、上(下)极限的基本概念,注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:,内均含有 中的无限多项,则称 x0 是数列,的一个聚点.,限多个项”.现举例如下:,前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无,定理7.4 有界数列至少存在一个聚点,并且有
2、最大,但作为数列来说,它却有两个聚点:,从数列聚点的定义不难看出,x0 是数列 的聚,点的一个充要条件是:存在 的一个子列,聚点和最小聚点.,故由确界原理,存在,的一个聚点.,的无限多项.现依次令,这样就得到了 xn 的一个子列满足:,同理可证,即证得,注 由定理 7.4 得知,有界数列必有上、下极限.,提供了一个新的平台.,的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质,极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列,数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过,这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个,例1 考察以下两个数列的上、下极限:,从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限,之间存在着的内
3、在联系.详细讨论请见下文.,二、上(下)极限的基本性质,由上、下极限的定义,立即得出:,下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关,系.,(1),(2),只有有限项.这就是说,B,不是 的聚点,故 仅有一个聚点 A,从而,反之,若上式成立,则 的聚点惟一(设为 A),一的假设相矛盾.,另一聚点,导致与聚点惟,性定理,这无限多项必有,的无限多项.由致密,倘若不然,则存在,此时易证,的充要条件是:对于任意的,(i)存在 N,当 n N 时,的充要条件是:对于任意的,(i)存在 N,当 n N 时,证 在形式上是对称的,所以仅证明.,还有聚点,这与 A 是最大聚点相矛盾.设这有限项,的最大下标为 N
4、,那么当 n N 时,上含有 xn 的无限项,即 A 是 xn 的聚点.,而对于任意的,则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:,聚点,所以存在,特别若 则更有,故存在 的一个收敛子列,(3),(4),同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由,又因,(1)与(3)式直接推得.,证 这里只证明(i),(ii)可同理证明.设,由定理7.7,存在 N,当 n N 时,(5),(6),再由定理 7.8 的(4)式,得,因为 是任意的,故,注 这里严格不等的情形确实会发生,例如,故,求证 的全体聚点的集合为,任给,欲证 如若不然,则存在,之内.又因 所以存在,这就是说,当 时,所有的 均不在,
5、当 n K 时,由(7)导致所有,的 或者都有 或者都有,前者与 B 是 的聚点矛盾;后者与 A 是,的聚点矛盾.故证得,即 从而,定理7.9 设 xn 为有界数列.则有,(i)A 是 xn 的上极限的充要条件是,(ii)B 是 xn 的下极限的充要条件是,(8),(9),所以有,同理,由于,这样得到的子列 因仍为有界的,故其上极限,因 是任意的,所以又得.从而证得,照此做下去,可求得 使,使得,求上极限,由不等式性质(4),得出,亦存在,设为(10)式关于 k,例3 用上、下极限证明:若 为有界发散数列,注 本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.,使得,为 于是存在 的两个子列,证 由定理7.6,有界数列 发散的充要条件,则存在 的两个子列,收敛于不同的极限.,例4 证明:对任何有界数列 有,(11),(12),证 根据定理7.9 的(8)与(9),可得,若能证明 便不难得出结果.,分析 将(11)式改写为,把它用于(12)式,并利用例1 的结论(6),便有,这也就证明了(11)式.,复习思考题,种定义方式各有哪些特点?,试从直观性、应用的方便性等方面,分析这三,它们的充要条件(定理7.7 与定理7.9)来定义.,数列的上、下极限,除用定义2 定义外,也可用,
