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1、,不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算,第四章,二、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,三、基本积分表（）,第一节 不定积分的概念,第4章,一、原函数与不定积分的概念,1.引例,一质点(质量为 m),沿直线运动,问题:,已知,求,在变力,求质点运动速度,由牛顿第二定律,加速度,2.原函数定义,定义 1 若函数 F(x)及 f(x)在区间 I 上满足,在区间 I 上的原函数.,则称 F(x)为f(x),3.原函数的个数及原函数之间的关系,(1)若,F(x)为f(x)的原函数，,(2)若,F(x)、G(x)均为f(x)的原函数，,G(x)=F(x)+C,则,证,结论,问题:,原函数存在的
2、条件?,定理,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,则必有原函数,4.原函数存在定理,5.不定积分定义,的含有任意常数项的,上的不定积分,记作,在区间 I 上，,定义2,原函数,即,被积函数,积分号,积分变量,被积表达式,(C 为任意常数).,积分常数,注,？,如,即若,则,6.不定积分的几何意义,原函数的图形,的图形：,所有积分曲线组成的平行曲线族.,的积分曲线族.,的积分,注,的积分曲线.,曲线族是 f(x)的,例1,设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程,解,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,质点在距地面,处以初
3、速,取 x轴（向上）：运动轨迹处，,初时刻:,初位移:,初速：,设时刻 t 质点位置：,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛,不计阻,解(1)建坐标系.,再由此求,例2,力,求它的运动规律.,由,知,故运动规律为,由,知,故,(2)求,二、不定积分的性质,1.不定积分运算与导数,性质1（互逆运算）,（或微分）运算的互逆关系,2.线性运算性质,性质2,线性运算推论,则,若,例3,解,(k 为常数),三、基本积分表（）,（或,（或,例4,由线性性,例5,小结,2 套用基本积分公式,（基本积分法）,1 拆项、整理（用分配律、线性性）,分子迎合分母,例6,（有理函数的积分）分子迎合分母,小结,例7,
4、用三角公式变形 分子迎合分母,例8,解,分析,原函数 F(x)，则有,从而 f(x)在,而且是,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P 186),2.直接积分法:,恒等变形,基本积分公式,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,思考题,1.证明,2.若,提示,提示,3.求下列积分,提示,4.,5.已知,求 A,B.,解 等式两边对 x 求导,得,例3-1,若 f(x)的导函数为,则,的一个,原函数是().,解,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,例3-2,是,的原函数,则,解,已知,可验证：,期中考试情况(4院),期中考试情况(10院),
