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1、第三章 习题课,二、典型例题,一、主要内容,第三章,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,一、主要内容,例1,解,这就验证了命题的正确性.,例2.设 f(x)=3x2+2x+5，求 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解：f(x)为多项式，在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,故,由此解得,(即此时 为区间a,b的中点),例3.设a0,a1,an 满足,证明 方程 a0+a1x+an1 xn1+an xn=0 在(0,1)内至少有一实根,证:令,则，f(x)C(0,1)，在(0,1)内可导。,又 f(0)=0,即 f(0
2、)=f(1),故 f(x)满足Rolle定理条件.,由Rolle定理，命题获证.,例4.证明：若f(x)在(,+)内满足关系式 f(x)=f(x)，f(0)=1，则 f(x)=ex.,证：要证 f(x)=e x,x(,+)，,令,(转化证明(x)=0),又 f(0)=1,故,从而,例5.证明若f(x)在a,b上可微，则至少存在一点,(a,b),使,分析:要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例6 证明：当 0 a b 时，,证 即要证,则 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，,故,另例.,解,例7,解,例8.,解,例9.,证,例10.,证,则有
3、,例11.,解,由题设条件,必有,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,例18,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,证：令 F(x)=x2(f(b)f(a)(b2a2)f(x),由 f(x)的连续性和可导性，得,F(x)C(a,b)，F(x)在(a,b)内可导,又 F(a)=a2(f(b)f(a)(b2a2)f(a)=a2f(b)b2f(a),F(b)=b2(f(b)f(a)(b2a2)f(b)=a2f(b)b2f(a),即 F(b)=F(a),由Rolle定理，至少存在一点(a,b)，使得,F()=2(f(b)f(a)(b2 a2
4、)f()=0,即 在(a,b)内方程 2x(f(b)f(a)=(b2 a2)f(x)至少有一根。,备选例 证明：x 1时，e x e x.,证(分析)：即要证：e x1 x(x 1),或 x 1 ln x(x 1),比较 f(b)f(a)=f()(b a),在1,x中，运用ln1=0 就有 x 1 lnx ln1.但是没有出现,注意，我们是证不等式，正好要利用|f()|M来引入不等号.,由 1 x,因此，证明该不等式时，可以令,证明的过程由学生自己完成.,例7.证明：若f(x)在(,+)内满足关系式 f(x)=f(x)，f(0)=1，则 f(x)=e x.,证：要证 f(x)=e x,x(,+
5、)，,即要证,令,(问题转化为证明(x)=0),又 f(0)=1,故,从而,例8.证明若f(x)在a,b上可微，则至少存在一点,(a,b),使,证(分析):要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例9.设f(x)=3x2+2x+5，求f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解：f(x)为多项式，在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,故,由此解得,(即此时 为区间a,b的中点),例10,证,分析:,结论可变形为,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3.若,可导,试证在其两个
6、零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,4.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,练习题答案,泰勒公式练习题,练习题答案,单调性凹凸拐点练习题,练习题答案,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测验题答案,七、,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题,练 习 题,练 习 题,练 习 题,练习题答案,思考题,利用泰勒公式求极限,练 习 题,练习题答案,极 值 练 习 题,练 习 题,练习题答案,
