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1、数列,第三章,要点疑点考点,1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.,2.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1,4.重要性质：,特别地 m+n=2p,am+an2ap(等差数列)amana2p(等比数列),an=am+(n-m)d，等比an=amqn-m,a1+an=a2+an-1=am+an+1-m=.,a1an=a2an-1=aman+1-m=.,5.an成等比,则an,|an|仍是等比数列,公比分别是q和|q|;按原来的顺序抽出间隔相同的项组成的新数列仍是等比数列;若an成等比,
2、各项为正数,则logaan成等差数列,公差是logaq.,6.若an,bn成等差数列,则man+kbn仍是等差数列,其中m,k为常数;等差数列an中,抽出间隔相同的项按原来的顺序组成的新数列仍是等差数列.,7.若三数成等差数列,则可设为a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d;若四数成等差,则设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,其公差为2d.,an成等差数列an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上的一群孤立的点.单调性:d0时,an为单调递增数列;d0时,an为单调递减数列;d=0时,an为常数列.,3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，
3、S3n-S2n，Skn-S(k-1)n成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.(公差是n2d;公比是qn),1.等差数列前n项和 等比数列前n项和,2.如果某个数列前n项和为Sn，则,4.求和公式Sn=na1+.其推导方法是倒序相加法.若n为奇数,则Sn=n=na中=求和公式又可变形为Sn=pn2+qn,其中p=,q=a1-.即an成等差数列Sn=pn2+qn;=a1+(n-1)说明 是以a1为首项,为公差的等差数列,等差数列an中,若an=m,am=n(m,nN*且mn),则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(m,nN*,且mn)则Sm+n=-(m+n).若Sn=Sm(m,nN*,且mn),
4、则Sm+n=0.,an成等比,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,公比为qm.若项数为2n-1(nN*),P奇表示奇数项的积,P偶表示偶数项的积,则=an;若项数为偶数2n(nN*),则=qn.若Sn是以q为公比的等比数列的前n项和,则有Sm+n=Sm+qmSn.(用Sm与Sn表达),或Sm+n=Sn+qnSm.,1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是_.2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为()A.3/8 B.11/24 C.13/24 D
5、.31/72 3.等比数列an的各项都是正数，且a2,a3/2,a1成等差数列，则 的值是()A.B.C.D.或,31,D,B,4.等差数列an中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_5.在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为()A.20 B.22 C.24 D.28,C,9,6.四个正数成等差数列，若第一项与第四项的和为13，第二项与第三项的积为40，求原数列的四个数.,7.an是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.,8.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.
6、,1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于（）A.18 B.36 C.54 D.72,D,2.在等差数列an中，a2+a4=p，a3+a5=q则其前6项的和S6为()(A)5(p+q)/4(B)3(p+q)/2(C)p+q(D)2(p+q),B,3.设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若Sn是等差数列，则q=_,1,4.设数列an的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.,5.已知等比数列an的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列.(1)求q3的值；(2)求证a2，a8，a5成等差数列.,【解
7、题回顾】在等差数列an中：(1)项数为2n时，则S偶-S奇nd，S奇/S偶an/an+1；(2)项数为2n-1时，则S奇-S偶an，S奇/S偶n/(n-1)，S2n-1=(2n-1)an，当an为等比数列时其结论可类似推导得出,6.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，求公差d.,7.已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和,8.an为等比数列，bn为等差数列，且b1=0,Cnan+bn，若数列Cn是1，1，5，则Cn的前10项和为_.9.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)logm
8、x+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_.10.下列命题中正确的是()A.数列an的前n项和是Sn=n2+2n-1，则an为等差数列 B.数列an的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是an为等比数列的充要条件 C.常数列既是等差数列，又是等比数列 D.等比数列an是递增数列，则公比q大于1,90或29434,0,B,11.等差数列an中，a10，且3a8=5a13，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21 12.等差数列an中，Sn为数列前n项和，且Sn/Smn2/m2(nm)，则an/am值为()(A)m/n(B)(2m-1)/n(C)2n/(2n-1)
9、(D)(2n-1)/(2m-1),C,D,13.设an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，求它的通项公式是an.,14.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?,15.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110.,要点疑点考点,数列求和,第三章,要点疑点考点,2.递推数列 可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)或 求数列的通项公式.,1.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1,1.等差数列前n项和 等比数列前n
10、项和,3.某个数列前n项和为Sn,则,求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：,2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,3.分组求和法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.,4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称 为裂项相消法.,1.倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和
11、，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.,5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：,1.数列an的前n项和Sn=n2+1，则an=_.2.已知an的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+|a10|=()(A)67(B)65(C)61(D)56 3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()(A)12(B)10(C)8(D)6,A,C,4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(
12、1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是123+122+021+120=13，那么将二进制数(11111)2位转换成十进制形式是()(A)217-2(B)216-2(C)216-1(D)215-1,16,C,5.数列 的前n项之和为Sn，则Sn的值得等于()(A)(B)(C)(D),A,6.求下列各数列前n项的和Sn：(1)14，25，36，n(n+3)(2)(3),7.求数列a，2a2，3a3，nan，(a为常数)的前n项的和.,8.已知数列an中的a1=1/2，前n项和为Sn若Sn=n2an，求Sn与an的表达式.,9若数列an中，an=-2n-(-1)n，求S10和S99,能力思
13、维方法,1.设an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=1/n.,2.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?,3.已知等比数列an的首项a10，公比q0.设数列bn的通项bn=an+1+an+2(nN*)，数列an与bn的前n项和分别记为An与Bn，试比较An与Bn的大小.,4.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110.,5.已知数列an和bn满足(nN+)，试证明：an成等差数列的充分条件是bn成等差数列.,数列的应用,第三章,要点疑点考
14、点,1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x,2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p)x,3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr),1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，6小时后细胞存活的个数是()(A)63(B)65(C)67(D)71,课 前 热 身,2.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是()(A)a(1+q%)3元(B
15、)a(1-q%)3元(C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元,3.某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元B种面值50元，半年到期，本利共50.9元，C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例便从小到大排列为()(A)BAC(B)ACB(C)ABC(D)CAB,B,C,B,D,5.某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为 xm3.为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是()(A)(B)(C)(D),C,能力思维方法,1.一梯形的上、下底长分别是12cm
16、，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和.,2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个，计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过200万个?,3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元.(1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过多少人?(2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否
17、实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的经济发展目标?,【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n6后，也可两边取对数.,4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴，问：(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标?(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?,延伸拓展,【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识.,5.某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0q1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清.求贷款金额；若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?,
