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1、,是电子技术、信息工程、通信工程等专业重要的学科基础课,信 号 与 系 统,Signals and Systems,课程介绍,电子技术、信息工程、通信工程等专业的考研课程,课程位置,先修课 后续课程高等数学 通信原理线性代数 数字信号处理复变函数 自动控制原理电路分析基础 数字图像处理,本课程为通信、电子类学生重要的专业基础课。,教材,信号与线性系统分析（第4版）吴大正、杨林耀、张永瑞、王松林、郭宝龙 高等教育出版社.2005年8月 信号与线性系统分析（第4版）教学指导书 王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平 高等教育出版社.2006年6月,课程特点,与电路分析基础比较，更抽象，更一般化；应用数学知
2、识较多，用数学工具分析物理概念；常用数学工具：微分、积分线性代数微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换 差分方程求解、z 变换 多做习题，方可学好这门课程。,学习方法,注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义及其产生的后果；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课程的基本概念。,参考书目,(1)郑君里等.信号与系统(第二版).北京：高等教育出版社,2000(2)管致中等.信号与线性系统(第四版).北京：高等教育出版 社,2004A.V.OPPENHEIM.信号与系
3、统(第二版).北京：电子工业出版 社,2002王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统分析(第4版)教学指导书.北京:高等教育出版 社,2006,信号与系统,第一章 信号与系统,第二章 连续系统的时域分析,第三章 离散系统的时域分析,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,第五章 连续系统的s域分析,第六章 离散系统的z域分析,第七章 系统函数,第八章 系统的状态变量分析,信号,系统,响应,绪论,f(t),h(t),y(t),时域,频域,F(s),H(s),y(s),复频域,F(z),H(z),y(z),离散,F,A,X,状态,各章关系分析主线,什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在
4、一起？,1.1 绪言,第一章 信号与系统,信号的概念,系统的概念,消息(message):,信息(information):,信号(signal):,人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。,通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。,信号是信息的载体。通过信号传递信息。,一、信号的概念,信号实例,信号我们并不陌生。如 上课铃声声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息电信号；广告牌上的文字、图像信号等等。,信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。,一般而言，系统(system)是指若干相互
5、关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。,系统的基本作用是对信号进行传输和处理。,输入信号,激励,输出信号,响应,二、系统的概念,通信系统,为传送消息而装设的全套技术设备,信号处理,对信号进行某种加工或变换。,目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。,信号传输,通信的目的是为了实现消息的传输。,原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；,声音信号的传输击鼓鸣金。,利用电信号传送消息。1
6、837年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报；1876年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。,利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。,1.2 信号的描述和分类,信号的描述,信号的分类,几种典型确定性信号,一、信号的描述,信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。,信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号简称“信号”。,电信号的基本形式：随时间变化
7、的电压或电流。,描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（2）信号的图形表示波形“信号”与“函数”两词常相互通用。,二、信号的分类,按实际用途划分：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号,信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。,按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；一维信号与多维信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号；左边信号与右边信号；等等。,1.确定信号和随机信号,可用确定的时间函数表示的信号。对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。,确定性信号,随机信号,伪随机信号,貌似随机而遵循严格规
8、律产生的信号（伪随机码）。,取值具有不确定性的信号。如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。,2.连续信号和离散信号,连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号，简称连续信号。这里的“连续”指函数的定义域时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。用t表示连续时间变量。,值域连续,值域不连续,离散时间信号：,仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。,定义域时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k=0,1,2,)才有定义，其余时间无定义。离散点间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，
9、离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。,上述离散信号可简画为,用表达式可写为,或写为,通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。,模拟信号，取样信号，数字信号,数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。,模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。,取样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。,量化,取样,连续信号与模拟信号，离散信号与数字信号常通用。,3.周期信号和非周期信号,定义在(-，)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号f(t)满足 f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号f(k)满
10、足 f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,举例,由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。,例1,例2,例3,连续周期信号示例,离散周期信号示例1,离散周期信号示例2,连续周期信号举例,例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin 2t+cos 3t（2）f2(t)=cos 2t+sint,分析,两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有
11、理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。,解答,解答,（1）sin 2t是周期信号，其角频率和周期分别为 1=2 rad/s，T1=2/1=s cos 3t是周期信号，其角频率和周期分别为 2=3 rad/s，T2=2/2=(2/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。,（2）cos 2t 和sint的周期分别为T1=s，T2=2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。,离散周期信号举例1,例:判断正弦序列f(k)=sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。,解:f(k)=si
12、n(k)=sin(k+2m)，m=0,1,2,式中称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：仅当2/为整数时，正弦序列才具有周期N=2/。当2/为有理数时，正弦序列仍具有周期性，但其周期为N=M(2/)，M取使N为整数的最小整数。当2/为无理数时，正弦序列为非周期序列。,离散周期信号举例2,例:判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3k/4)+cos(0.5k)（2）f2(k)=sin(2k),解:（1）sin(3k/4)和cos(0.5k)的数字角频率分别为 1=3/4 rad，2=0.5 rad由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们的周期分别为N1
13、=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为 1=2 rad；由于2/1=为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。,4能量信号与功率信号,将信号f(t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(,)的能量和平均功率定义为,（1）信号的能量E,（2）信号的功率P,若信号f(t)的能量有界，即 E,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P=0,若信号f(t)的功率有界，即 P,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时 E=,离散信号的功率和能量,对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。,若满足 的离
14、散信号，称为能量信号。,若满足 的离散信号，称为功率信号。,一般规律,(1)一般周期信号为功率信号。,(2)时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。,(3)还有一些非周期信号，也是非能量信号。如(t)是功率信号；而t(t)、e t为非功率非能量信号;(t)是无定义的非功率非能量信号。,5一维信号和多维信号,一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。,还有其他分类，如：实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号等等。,三、几种典型确定性信号,本课程讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。,1.指数信号,
15、2.正弦信号,3.复指数信号(表达具有普遍意义),4.取样信号(Sampling Signal),指数信号,重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。,单边指数信号,通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。,l 指数衰减,l 指数增长,l 直流(常数),正弦信号,振幅：K 周期：频率：f 角频率：初相：,衰减正弦信号：,复指数信号,讨论,取样信号(Sampling Signal),1.3 信号的基本运算,两信号相加或相乘,信号的时间变换,信号的微分和积分,一、信号的加法和乘法,同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。,离散序列相加、乘,二、信号的时间变换,1.信号
16、的反转,2.信号的平移,3.信号的展缩（尺度变换）,4.混合运算举例,1.信号反转,将 f(t)f(t)，f(k)f(k)称为对信号f()的反转或反折。从图形上看是将f()以纵坐标为轴反转180o。如,t-t,2.信号的平移,将 f(t)f(t t0)，f(k)f(k k0)称为对信号f()的平移或移位。若t0(或k0)0，则将f()右移；否则左移。如,雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。,3.信号的展缩(尺度变换）,将 f(t)f(a t)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a 1，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1，则扩展。如,对于离散信号，由于 f(a k)仅在为a k 为整数时才有意义，
17、进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。,4.混合运算举例,例1,例3,平移与反转相结合,平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。,例2,平移与尺度变换相结合,可以看出：混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t 而言。通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对逆运算，反之。,平移与反转相结合举例,例:已知f(t)如图所示，画出 f(2 t)。,解答,法一：先平移f(t)f(t+2),再反转 f(t+2)f(t+2),法二：先反转 f(t)f(t),再平移 f(t)f(t+2),左移,右移,=f(t 2),反转,反转,平移与展缩相结合举例,例
18、 已知f(t)如图所示，画出 f(3t+5)。,解答,时移,尺度变换,尺度变换,时移,平移、展缩、反折相结合举例,例:已知f(t)如图所示，画出 f(-2t-4)。,解答,也可以先压缩、再平移、最后反转。,若已知f(4 2t)，画出 f(t)。,验证：,计算特殊点,三微分和积分,冲激信号,是两个典型的奇异函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。,阶跃函数,冲激函数,阶跃序列和单位样值序列,一、单位阶跃函数,下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。,选定一个函数序列n(t)如图所示。,1.定义,2.延迟单位阶跃
19、信号,3.阶跃函数的性质,（1）可以方便地表示某些信号,f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,二、单位冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。,狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义(t)冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质,1.狄拉克(Dirac)定义,函数值只在t=0时不为零；,积分面积为1；,t=0 时，为无界函数。,2.函数序列定义(t),对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。,求导,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,3.(t)与(t)的关系,n,引入冲激函
20、数之后，间断点的导数也存在,f(t)=2(t+1)-2(t-1),f(t)=2(t+1)-2(t-1),三、冲激函数的性质,取样性冲激偶 尺度变换复合函数形式的冲激函数,1.取样性(筛选性),对于平移情况：,如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有,证明,举例,冲激函数取样性质证明,分t 0和t=0 两种情况讨论,当t 0 时，,(t)=0，,f(t)(t)=0，,(注意：当t 0 时),积分结果为0,当t=0 时，,(t)0，,f(t)(t)=f(0)(t)，,(注意：当t=0 时),取样性质举例,0,(t),2.冲激偶,冲激偶的性质,(1)f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t),
21、证明,(2),证明,(n)(t)的定义：,(t)的平移：,(3),例:,冲激偶取样性证明,f(t)(t)=f(t)(t)+f(t)(t)f(t)(t)=f(t)(t)f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t),冲激偶积分证明,利用分部积分运算,3.对(t)的尺度变换,证明,推论:,(1),(2)当a=1时,所以，(t)=(t)为偶函数，(t)=(t)为奇函数,举例,冲激信号尺度变换的证明,从 定义看：,p(t)面积为1，强度为1,p(at)面积为，强度为,冲激信号尺度变换举例,例1:,例2:,举例,已知f(t)，画出g(t)=f(t)和 g(2t),4.复合函数形式的冲激函数,实际中有时会遇
22、到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根 ti(i=1，2，n),(t2 4)=1(t+2)+(t 2),f(t)图示说明：例 f(t)=t2 4,一般地，,这表明，f(t)是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。,注意：如果f(t)=0有重根，f(t)无意义。,(t 2 4)=1(t+2)+(t 2),冲激函数的性质总结,（1）取样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,（5）冲激偶,四、序列(k)和(k),这两个序列是普通序列。,1.单位(样值)序列(k),取样性质：,f(k)(k)=f(0)(k),f(k)(k k
23、0)=f(k0)(k k0),例：,定义,2.单位阶跃序列(k)定义,(k)与(k)的关系,(k)=(k)(k 1),或,(k)=(k)+(k 1)+,定义,1.5 系统的特性与分类,系统的定义,系统的分类及性质,一、系统的定义,系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。,二、系统的分类及性质,可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。常用的分类有：,连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系
24、统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统,1.连续系统与离散系统,连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号。,离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号。,混合系统：系统的激励和响应一个是连续信号，一个是离散信号。如A/D、D/A转换器。,2.动态系统与即时系统,动态系统也称为记忆系统。若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。,3.单输入单输出系统与多输入多输出系统,单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个。多输入多输出系统：系统的输入、输出信号
25、有多个。,4.线性系统与非线性系统,线性系统：指满足线性性质的系统。,线性性质：齐次性和可加性,可加性：,齐次性：,f()y(),y()=T f()f()y(),a f()a y(),f1()y1(),f2()y2(),f1()+f2()y1()+y2(),af1()+bf2()ay1()+by2(),综合，线性性质：,动态系统是线性系统的条件,动态系统不仅与激励 f()有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。初始状态也称“内部激励”。,(1)可分解性：y()=yzs()+yzi(),(2)零状态线性：Taf1(t)+bf2(t),0=aT f1(),0+bT f2(),0,y()=T f()
26、,x(0)yzs()=T f(),0，yzi()=T 0，x(0),(3)零输入线性：T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),举例1,举例2,判断线性系统举例,例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3 x(0)+2 f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2 x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2 f(t),解：（1）yzs(t)=2 f(t)+1，yzi(t)=3 x(0)+1显然，y(t)yzs(t)yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2 x(0)y(t)=yzs(t)+yz
27、i(t)满足可分解性；由于 Ta f(t),0=|af(t)|a yzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）yzi(t)=x2(0)，T 0,a x(0)=a x(0)2 a yzi(t)不,满足零输入线性。故为非线性系统。,例2：判断下列系统是否为线性系统？,解：,y(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；,Ta f1(t)+b f2(t),0,=aTf1(t),0+bT f2(t),0，满足零状态线性；,T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；,所
28、以，该系统为线性系统。,5.时不变系统与时变系统,时不变系统：指满足时不变性质的系统。,时不变性（或移位不变性）：f(t)yzs(t),f(t-td)yzs(t-td),举例,判断时不变系统举例,例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k 1)（2）yzs(t)=t f(t)（3）y zs(t)=f(t),解:(1)令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd 1)而 yzs(k kd)=f(k kd)f(kkd 1)显然 T0，f(k kd)=yzs(k kd)故该系统是时不变的。(2)令g(t)=f(t td)，T0，g
29、(t)=t g(t)=t f(t td)而 yzs(t td)=(t td)f(t td)显然T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。,(3)令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而 yzs(t td)=f(t td)，显然 T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。,直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,LTI连续系统的微分特性和积分特性,本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。,(1)微分特性：若 f(t)yzs(t)，则 f(t)yzs
30、(t)(2)积分特性：若 f(t)yzs(t)，则,证明,LTI系统微分特性证明,f(t)yzs(t),f(t-t)yzs(t-t),根据时不变性质，有,利用线性性质得,对零状态系统,t 0 得,6.因果系统与非因果系统,因果系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。,即对因果系统，当t t0，f(t)=0时，有t t0，yzs(t)=0。,输出不超前于输入。,判断方法：,举例,综合举例,因果系统判断举例,如下列系统均为因果系统：,yzs(t)=3f(t 1),而下列系统为非因果系统：,(1)yzs(t)=2f(t+1),(2)yzs(t)=f(2t),因为，令t=1时，有yzs(1)=2f
31、(2),因为，若f(t)=0，t t0，有yzs(t)=f(2t)=0,t 0.5 t0。,综合举例,例:某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当x(0)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t)=e t+cos(t)，t0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t)=2e t+3 cos(t)，t0；求输入f3(t)=+2f1(t1)时，系统的零状态响应y3f(t)。,解:设当x(0)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入
32、响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。,由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e t+cos(t)，t0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=2e t+3 cos(t)，t0（2）根据线性系统的齐次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得 y2(t)=2y1zi(t)+3 y1zs(t)=2e t+3 cos(t)，t0（3）式(3)2式(1)，得 y1zs(t)=4e t+cos(t)，t0由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1zs(t)=0；因此y1zs(
33、t)可改写成 y1zs(t)=4e t+cos(t)(t)(4),f1(t)y1zs(t)=4e t+cos(t)(t),根据LTI系统的微分特性,=3(t)+4et sin(t)(t),根据LTI系统的时不变特性,f1(t1)y1zs(t 1)=4e(t1)+cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t1)时，,y3zs(t)=+2y1(t1)=3(t)+4e tsin(t)(t)+24e(t1)+cos(t1)(t1),实际的物理可实现系统均为因果系统,非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、
34、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。,因果信号,可表示为：,t=0接入系统的信号称为因果信号。,7.稳定系统与不稳定系统,一个系统，若对有界的激励f()所产生的零状态响应yzs()也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f()，其yzs()则称系统是稳定的。,如yzs(k)=f(k)+f(k1)是稳定系统；而,是不稳定系统。,因为，当f(t)=(t)有界，,当t 时，它也，无界。,1.6 系统的描述和分析方法,系统的数学模型,系统的框图描述,系统分析方法概述,系统物理特性的数学抽象。,形象地表示其功能。,一、系统的数学模型,连续系统解析描述：微分方程 离散系统
35、解析描述：差分方程,1.连续系统的解析描述,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得,二阶常系数线性微分方程。,抽去具有的物理含义，微分方程写成,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,机械减振系统,其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称为相似系统。,2.离散系统的解析描述,例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-
36、1)，利息为y(k-1),则 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即 y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。,描述LTI系统的是线性常系数差分方程,例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k 1)y(k 1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k 1)=f2
37、(k)（3）y(k)+2 y(k 1)=f(1 k)+1,解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。,线性、时变，一阶,非线性、时不变，二阶,非线性、时变，一阶,二、系统的框图描述,连续系统的基本单元 离散系统的基本单元 系统模拟,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分（差分）、相加运算。将这些基本运算用一些基本单元符号表示出来并相互连接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。,1.连续系统的基本单元,延时器,加法器,积分器,数乘器,乘法器,2.离散系统的基本单元,加法器,迟延
38、单元,数乘器,3.系统模拟,实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1,例2,例3,例4,方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。,由微分方程画框图举例1,例1：已知y(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。,解：将方程写为 y(t)=f(t)ay(t)by(t),由微分方程画框图举例2,例2 请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。,解1：,解法二,解2：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足 x(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出 y(t)=x(t)+x(t)，它满足原方程。,由框图写微分方程举例,例3：
39、已知框图，写出系统的微分方程。,设辅助变量x(t)如图,x(t),x(t),x(t),x(t)=f(t)2x(t)3x(t),即x(t)+2x(t)+3x(t)=f(t),y(t)=4x(t)+3x(t),根据前面，逆过程，得,y(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t),由框图写差分方程举例4,例4：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k 1),x(k 2),即 x(k)+2x(k 1)+3x(k 2)=f(k)y(k)=4x(k 1)+5x(k 2)消去x(k)得 y(k)+2y(k 1)+3y(k 2)=4f(k 1)+5f(k 2),x
40、(k)=f(k)2x(k 1)3x(k 2),三、LTI系统分析概述,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（chp.8),外部法,时域分析（chp.2,chp.3),变换域法,连续系统频域法(chp.4)和复频域法(chp.5),离散系统频域法(chp.4)和z域法(chp.6),系统特性：系统函数（chp.7),求解的基本思路：,把零输入响应和零状态响应分开求。把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引
41、起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,采用的数学工具：,时 域：卷积积分与卷积和 频 域：傅里叶变换 复频域：拉普拉斯变换与z变换,2.1 LTI连续系统的响应,第二章 连续系统的时域分析,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程 由于在其分析过程中涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,微分方程的经典解,关于0-和0+初始值,零输入响应和零状态响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(
42、1)(t)+b0f(t),微分方程的经典解：完全解=齐次解+特解。,1.齐次解,由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,举例,齐次解举例,解：系统的特征方程为,特征根,对应的齐次解为,2.特解,根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,激励f(t),响应y(t)的特解yp(t),举例,或,特解举例,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例：给定微分方程式,解:(1)由于f(t)=t2，,故特解函数式为,将此式代入方程得到,这里，P2，P1，P0，,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,(2)当f(t)=
43、et 时,特解为yp(t)=P et，这里，P是待定系数。代入方程后有：,3.全解,完全解=齐次解+特解,由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。,举例,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,全解举例,例:描述某系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,解:(1)特征方程为2+5+6=0 其特征根1=2，2=3。齐次解为 yh(t)
44、=C1e 2t+C2e 3t当f(t)=2e t时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得 P=1于是特解为 yp(t)=e t,全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得 C1=3，C2=2 最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。故其特解为 yp(t)=(P1t+P0)e2t 代入微分方程可得 P
45、1e2t=e2t 所以 P1=1 但P0不能求得。特解为 yp(t)=(t+P0)e2t,全解为 y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得 C1+P0=2,C2=1 最后得微分方程的全解为 y(t)=2e2t e3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,二、关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+
46、)(j=0,1,2,n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。,例1,例2,当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。,0-和0+初始值举例1,例1：描述某系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(
47、t)=(t)代入上述微分方程得 y(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为2(t)，故y(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0处是连续的。,故 y(0+)=y(0-)=2,对式(1)两端积分有,由于积分在无穷小区间0，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故,于是由上式得 y(0+)y(0)+3y(0+)y(0)=2考虑 y(0+)=y(0)
48、=2，所以 y(0+)y(0)=2，y(0+)=y(0)+2=2,0-和0+初始值举例2,例2：描述某系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+(t)（1）利用系数匹配法分析：令y(t)=a(t)+b(t)+c(t)+r1(t)，r1(t)中不含冲激 y(t)=a(t)+b(t)+r2(t)，r2(t)=c(t)+r1(-1)(t)y(t)=a(t)+r3(t)，r3(t)=b(t)+r2(-1
49、)(t)将上述关系代入式（1），并整理得,a(t)+b(t)+c(t)+r1(t)+3a(t)+3b(t)+3r2(t)+2a(t)+2r3(t)=2(t)+(t),比较等式两边冲激项系数，有 a=2 b+3a=1 c+3b+2a=0,解得：a=2，b=-5，c=11，故,y(t)=2(t)-5(t)+11(t)+r1(t)，y(t)=2(t)-5(t)+r2(t)，y(t)=2(t)+r3(t)，,对y(t)从0-到0+积分得,y(0+)-y(0-)=11，y(0+)=y(0-)+11=11,对y(t)从0-到0+积分得,y(0+)-y(0-)=-5，y(0+)=y(0-)-5=2-5=-3
50、,三、零输入响应和零状态响应,y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，n-1)的计算。y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs(j)(0-)=0yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。,例1,零输入响应和零状态响应举例,例：描述某系统的
