《力学习题解答》PPT课件.ppt

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1、力学习题解答（第一章第五章）,新疆大学物理系亚森江吾甫尔2004.11.,例1.重物m1和m2可视作质点，滑轮是理想的,即绳与滑轮的质量不计,轴承摩擦不计,绳不伸长,求重物释放后物体的加速度即物体对绳的 拉力。解:选地为参考系,受力情况如图所示。W1,W2为重力,T1,T2绳对质点的拉力。用a1及a2表示质点的加速度。根据牛顿第二定律,有 W1+T2=m1a1 W2+T2=m2a2,假如滑轮和绳的质量不计,又不计轴承摩擦,则为理想滑轮,这时,滑轮两侧张力相等。于是有 T1=T2=T 建立坐标系X，用X1和X2表示m1和m2的坐 标,L表示绳长,R表示滑轮的半径。因绳不可伸长,则 X1+X2+R

2、=L=恒量 对时间求导有,式中a(1x)和a(1x)分别表示m1和m2的加速度在轴上的投影。此式表明滑轮两侧质点的加速度的大小相方向相反。在考虑到w1=m1g,w2=m2g,得投影式 对m1:m1gT=m1 a(1x)对m2:m2gT=m2 a(2x)=m2 a(1x)解方程得：,讨论：若m1m2,a(1x)为正a(2x)为负 若m1m2则a(1x)为负a(2x)为正 若m1m2加速度为及加速度的大小和方向均取决于m1和m2,例.斜面质量为m1,滑块质量为m2,m1与m2之间,m1与平面之间无摩擦,用水平力F推斜面,问斜面倾角应多大,m1和m2相对静止。解：将m1和m2视作质点并取作隔离体,受

3、力如图所示。,m1受推力F，支撑面弹力N，重力W和m2的压力N1 m2受重力W2和斜面的弹力N2考虑到m1和m2相对静止，具有共同的加速度a根据牛顿第二第三定律，得：对m1:F+N+W1+N1=m1a 对m2:W2+N2=m2a,N1=N2 建立坐标系oxy 对m1:X:FN1sin=m1a 对m2:X:N2sin=m2a Y:m2g N2cos=0 解方程得：a=arctgF/(m1+m2)g.,例.北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大致如图3.12所示，设大圆盘转轴oo与铅直方向成=18度匀速转动，角速度为 w(0)=0.84rad/s离该轴r=2.0m处又有与oo平行的pp饶pp转动的坐椅与

4、pp轴距离为r=1.6m为简单起见，设转椅静止于大盘上，设椅坐光滑测向力全来自扶手。又设两游客质量分别m=60kg为求游客处于最高点B和较低处A时受座椅的力。解：因小转椅静止与大圆盘上，故游客作圆周运动。A,B二人受力分析如图3.12(b)为重力，和分别为扶手施与得测向力，和表示椅座支撑力。根据牛顿第二定律有,例 1 质子加速器的加速电压为1 GV，求质子所能达到的速度，这时质子的质量为其静止质量的多少倍？,解,经加速后质子的动能为1GeV.即,按经典理论：,例 2 试计算太阳由于热核反应向外辐射能量造成的单位时间内的质量亏损。已知太阳的辐射功率为：,解,太阳单位时间辐射的能量为：,太阳在单位

5、时间亏损的质量为：,太阳在单位时间亏损的质量百分比为：,例 3 太阳向外辐射能量是由质子参与的一系列反映产生的，反应式为已知质子的静质量为mp=1.672610-27kg，氦核的静质量为mHe=6.642510-27kg，正电子的静质量为me=910-31kg，试求：（1）一次反应所放出的能量；（2）已知太阳的辐射功率为3.9 1026W，则每秒消耗多少个质子？（3）已知太阳的总质量为1.51030kg，估算太阳的核反应还能进行多少年？,解,（1）一次反应所放出的能量 E0=m c2,（2）已知太阳的辐射功率为3.9 1026W，则每秒消耗多少个质子？,（3）已知太阳的总质量为1.51030k

6、g，估算太阳的核反应还能进行多少年？,例4 两静止质量为m0的全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合在一起形成一个复合粒子。求复合粒子的速度和质量。,碰撞前后总能量守恒：,碰撞过程中损失的能量转换成复合粒子的静质量静能增加,解：设复合粒子质量为M 速度为碰撞过程，动量守恒：,（三）相对论的动量能量关系式,相对论动量能量关系式,例5 求光子的动量与质量,又：,解,相对论动力学基础,18-17 若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。,设电子的总能量为E，由动能定义式有:,MeV,由能动关系式得电子的动量,kg.m.s-1,又由动能的定义式可得电子的速率为:,18-18

7、一被加速器 加速的电子,其能量为 MeV.试,此题知识点是考察对静止能量、动能、动量概念的理解。,问(1)这个电子的质量是其静质量的多少倍?(2)这个电子的速率为多少?,解,分析,由相对论能量和静能公式可以直接求出运动质.,量和静止质量之比。由只素关系可以求出相对观察者的运动速度。,（1）、由公式E=mC2和E0=m0C2可得电子的运动质量与静止质量之比：,由质速关系式 可得电子的速度为：,可见：给电子加速到这么大能量时，其速度十分接近光速了。,此题知识点是考察对静止质量概念理解和质速关系式的应用。,18-19 在电子偶的湮灭过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。假定正负电

8、子在湮灭前均静止，由此估计辐射的总能量E。,解,分析,以正负电子为系统，电子偶湮灭前后系统的,总能量守恒。湮灭前系统总能量是正负电子静止能量之和，湮灭后系统的总能量以辐射方式辐射出去，即辐射能。,由上述分析知正负电子湮灭后，辐射的总能量为：,MeV,此题知识点是考察对能量守恒定律的应用。,注意：,此题中的能量守恒不是系统的动能而是总能量。,18-20 若把能量0.5010 6eV 给予电子,让电子垂直于磁场运动其运动径迹是半径为2.0cm的圆.问:(1)该磁场的磁感应强度B有多大?(2)这电子的动只质量为静质量的多少倍?,解,分析,电子在磁场中做圆周运动,其洛伦兹力提供法力,其电子旋转的速度可

9、以从能动关系式中求得，从而可求得磁感应强度B。又由相对论的质速关系公式可求得运动质量与静止质量之比。,（1）根据上述分析，有,由式（1）-（4）解得：,（2）由质速关系可得：,此题知识点是考察考虑相对论后对牛顿第二定律的应用和能动关系的应用。,18-21 如果将电子由静止加速到速率为0.10c，需对它做多少功？如将电子由速率为0.80c加速到0.90c，又对它做多少功？,解,分析,在相对论中动能定理仍然成立，在此题中只需,要应用动能定理可以求得电子动能的增量，这等于对电子所做的功，但这时动能表示应为相对论的表达式。,由动能定理和质速关系可得把电子从速率为 时对电子所做的功 为：,由结果可见，同

10、样将电子的速率提高0.10c,但后者需要对电子作功多,这是因为随着速度的增加,电子的质量也在增大.,此题知识点是考察考虑相对论后对动能定理的应用。,例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、半径为 R，小圆盘质量为 m2、半径为 r，两圆盘都用力 F 作用，求角加速度。,解：以 m1、m2 为研究对象，它们有共同的角加速度，只有 F、F 产生力矩。,由圆盘的转动惯量：,习题课/例1,例2：光滑斜面倾角为，顶端固定一半径为 R，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a。,解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分

11、析,在斜面 x 方向上,习题课/例2,补充方程,联立三个方程求解：,定滑轮可视为圆盘，转动惯量J,以滑轮为研究对象,习题课/例2,例3：质量为 m、长为 l 的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至与水平面 60 角和水平位置时的角加速度为多大。,解：由转动定律,习题课/例3,习题课/例3,例4：质量为 m、长为 l 的细杆两端用细线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另一根细线中的张力为多大？,解：在线烧断瞬间，以杆为研究对象，细杆受重力和线的张力，,注意：在细杆转动时，各点的加速度不同，公式中a为细杆质心的加速度。,（1）,习题课/例4,以悬挂一端为轴，重力产生力矩。,（2）,

12、（3）,联立(1)、(2)、(3)式求解,习题课/例4,例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度。,解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒，,（1）,习题课/例5,弹性碰撞机械能守恒，,（2）,联立(1)、(2)式求解,注意没有关系：,习题课/例5,例6:细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度 0 转动，用力 F 拉线，使转动半径从 r0 减小到 r0/2。求：（1）小球的角速度；（2）拉力 F 做的功。,解：（1）

13、由于线的张力过轴，小球受的合外力矩为0，角动量守恒。,习题课/例6,半径减小角速度增加。,（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0，为什么拉力还作功呢？,习题课/例6,在定义力矩作功时，我们认为只有切向力作功，而法向力与位移垂直不作功。,但在例题中，小球受的拉力与位移并不垂直，小球的运动轨迹为螺旋线，法向力要作功。,习题课/例6,由动能定理：,习题课/例6,解：,（2）,（1）,习题1-1:一质点运动方程(1)以t为变量，写出位失的表达式;(2)描绘它的轨迹（3）式中t以s为单位，x,y以m为单位，求质点在t=4时的速度的大小和方向。,与x轴成角,（3）,习题1-2：在离水面高度为h的岸边，有人用绳

14、子拉船靠岸，船在离岸边s距离处。当人以v的速率收绳时，试求船的速率与加速度各有多大。,解：设人与船之间的绳长为l，则有：,上式对时间求导：,所以收绳速率为,船的速率大小为,加速度船大小为,习题1-3：一辆汽车沿着笔直的公路行使，速度和时间的关系如图中的折线OABCDEF所示.(1)试说明图中OA,AB,BC,CD,DE,EF等线段各表示什么运动?(2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整个行使过程中所走过的路程，位移和平均速度。,解：（1）OA:匀加速直线运动;AB:匀速直线运动；BC：匀减速直线运动；CD：静止;DE：反方向匀加速直线运动；EF：反方向匀减速直线运动；,(2)根据,路程=梯形OA

15、BC面积+三角形DEF面积,由于 梯形OABC面积=三角形DEF面积 位移=0 平均速度=0,习题1-4:路灯距地面的高度为h，一个身高为l的人在路上匀速运动，速度为v，如图所示，求(1)人影中头顶的移动速度；(2)影子长度增长的速率。,解：设人离灯的水平距离为,影子长度为，人影中头顶离灯的水平距离为x，显然,（1）因为,所以,两边对时间求导，得,（2）同理，由,可得,习题1-5：一长为5m的梯子,顶端斜靠在竖直的墙上,设t=0时,顶端离地面4m,当顶端以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时,求(1)梯子下端的运动方程和速度（设梯子下端与上端离墙角的距离分别为x和y）。(2)在t=3s时,下端的速度

16、.,解：本题有几何约束关系.(1)梯子顶端做匀速下滑直线运动,其运动方程为:,由直角三角形边长关系，有,将 两边对时间求导,可得,在t=3s时，v=0,习题1-6：在质点运动中,已知：求：质点的加速度和它的轨道方程。,解：因为,所以,由 得：,据初始条件：,即,所以,习题1-7:滑雪运动员离开水平滑雪道飞入空中时速率110km/h,着陆的斜坡与水平面成角45度如图所示(1)计算滑雪运动员着陆时沿斜坡的位移。,（2）在实际跳跃中,运动员所达到的距离L=165m，此结果为何与计算结果不符?,解:(1)设着陆时坐标为x,y，时刻为t，则,又：,联解可得,所 以,（2）由于空气阻力的存在，实际达到的距

17、离要小于上述计算值。,习题2-1:A.B两个物体,质量分别为 装置如图所示。两斜面的倾角分别为 和 如果物体与斜面间无摩擦,滑轮和绳的质量忽略不计问(1)系统将向那边运动？(2)系统的加速度是多大？(3)绳中的张力多大？,解:(1)比较两边下滑力因为,所以系统将向右边运动。,（2）设绳子张力为T,物体沿斜面加速度为a,则,（3）,习题2-2:绳子的一端系着一金属小球,另一端用手握着使其在竖直平面内作匀速圆周运动,问球在哪一点时绳子的张力最小?在哪一点时绳子的张力最大?为什么?,答:小球作匀速圆周运动,在最高点绳子张力最小,在最低点绳子张力最大.,小球所受合力:,可见:当,即最高点时,当,即最低

18、点时,习题2-3：质量为m的物体沿斜面向下滑动.当斜面得倾角为 时,物体正好匀速下滑.问:当斜面的倾角增大到 时,物体从高为h处有静止滑到底部需要多少时间？,解:设斜面的倾角为,当 时物体匀速下滑有:,当倾角增大到 时,有:,所以:,可以看出a为恒量,即物体沿斜面做匀加速直线运动,由斜面长,可 得:,所 以:,习题2-4:一辆铁路平车装有货物,货物与车底板间的静摩擦系数为0.25,如果火车以30km/h的速度行使。问要使货物不发生滑动，火车从刹车到完全静止所经过的最短路程是多少？,解：因为对货物m，最大静摩擦力刹车时，,即货物的最大加速度为,静摩擦力使货物随之减速。,要使货物不滑动，火车的最大

19、加速度只能是,由,可得,习题2-5：右图中A为定滑轮,B为动滑轮，三个物体1,2,3的质量分别为200g,100g,50g,求:（1）每个物体的加速度；（2）两根绳子中的张力.,解:取地面参考系,oy轴向下为正（1）三物体的运动方程分别为,为 对 的加速度,联解,习题2-6:(1)试证长度不同的圆锥摆只要其高度相等，则其周期也相等。(2)如果某圆锥摆的高度为1.5m，求其周期.,解:(1)如右图所示,张力的水平分量作为向心力。,因为,而,所以,可见 与l无关，只要h相等 便相等,习题2-7：利用一挂在车顶的摆长为lm的单摆和附在下端的米尺如左下图示，怎样测出车厢的加速度（单摆的偏角很小）？,解

20、：设车厢加速度为a，向左。,因为单摆受张力T与重力mg二力作用（见右上图）,其合力为,所以,又因为 很小，所以,在米尺上读出x值，即可计算车厢的加速度。如取l=1m，则摆线偏转cm数x就等于车厢加速度对g的百分数。,习题3-1:一质量为m的中子与一质量为M的原子核 作弹性碰撞,如中子的初始动能为E.试证明在碰撞过程中中子动能损失的最大值为,证明,习题3-2:一炮弹,竖直向上发射,初速度为,在发射后经t秒在空中自动爆炸,假定分成质量相同的A、B、C三块碎片。其中A块的速度为零;B,C两块速度大小相同，且B块速度方向与水平成角,求B,C两碎块的速度.,解:选取直角坐标,水平方向为x轴,竖直向上 为

21、y轴.设B块与x轴正向成角.C块与x轴负向成角.,由题意设:,Y方向,所以,经t秒后速度,X方向,习题3-3：一根特殊弹簧在伸长xm时，沿它伸长的反方向的作用力为（1）试求把弹簧从x=0.50拉长到x=1.00时，外力克服弹簧力所需做的总功。（2）将弹簧的一头固定,在其另一端拴一质量为2.17kg的物体.然后把弹簧拉到x=1.00,开始无初速的释放物体,使求弹簧缩回到x=0.50时物体的速率。,解：本题注意弹簧力的表达式,(1),(2)由,得,习题3-4:如图所示A,B两木块，质量各为 与,由弹簧联接，开始止于水平光滑的桌面上,现将两木块拉开(弹簧被拉长)，然后由静止释放,求两木块的动能之比。

22、,解：本题注意对地面参考系。由动量守恒定律有,又,所以,习题3-5：火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为50t，求火箭得到的加速度。,解：本题应用火箭飞行公式。,因为,所以,习题3-6：电子质量为 kg，在半径为 圆周上绕氢核作匀速运动，已知电子的角动量为，求它的角速度。,解：角动量为,因为,所以,习题3-7：当地球处于远日点时,地球到太阳的距离为,轨道速度为,半年后,地球处于近日点，到太阳的距离为 求：（1）地球在近日点时的轨道速度；（2）两种情况下，地球的角速度。,解:（1）根据角动量定义L=rmv,远日点有,近日点有,角动量守

23、恒,(2)近日点,远日点,习题 41：如图所示，一圆柱体质量为 m，长为l，半径为R用两分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：根轻软的绳子对称的绕在圆柱两端，两绳的另一端（1）它向下运动的线加速度；（2）向下加速运动时两绳的张力。,解:（1）设每绳张力为T。由质心运动定理：,对质心的轴应用转动定律：,联解两式得：,习题4-2:如图所示,弹簧的劲度系k=2N/m,轮子的转动惯量为,轮子半径r=30cm.当质量为60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。,解：设物体下落h=40cm时的速度为v,则：,代入,可得,习题4-3：电动机带动一个转动惯量为J=50的

24、系统作定轴转动.在 0.5s内由静止开始最后达到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。,解:因为,所以,习题4-4:某冲床上飞轮的转动惯量 当它的转速达到30r/min时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降为10r/min转，求每冲一次飞轮对外所做的功。,解：本题应用转动动能定理。冲前飞轮具有转动动能,所以每冲一次飞轮所作的功为,习题4-5:如图所示转台绕中心竖直轴以角速度 作匀速转动.转台对该轴的转动惯量.现有沙粒以1g/s的速度落到转台上，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。试求沙粒落到转台，使转台角速度变为 所花的时间。,解:本题注

25、意转动惯量随沙粒的增加而变化.因为沙粒垂直落入转台,沙粒对竖直轴的角动量原为零,落下后随转台转动.对转台和落下沙粒这一系统,角动量守恒,所以有,而,令 代入可得,习题4-6：在自由旋转的水平圆盘上站一质量为m的人.圆盘的半径为R，转动惯量为J,角速度为 如果这人由盘边走向盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。,解：本题应用定轴转动角动量守恒定律.对轴的外力矩为零，人与圆盘系统角动量守恒,设人走到盘心时的角速度为,则,动能变化,习题4-7：一个人站在一竹筏的一端，用力向垂直于筏身方向水平跳出去。筏由于受到反冲作用就要旋转起来。假定人的质量为m=60kg,筏的质量M=500kg，人相对于岸的起跳

26、速度为3m/s。求竹筏所获得的角速度（假定竹筏的转动惯量近似的可以用细杆的公式来计算，水的摩擦可以忽略不计）。筏长10m。,解：本题应用角动量守恒定律。由人和筏组成的系统，对通过筏的中心且垂直水面的轴，合外力矩为零，所以角动量守恒。,习题5-1:地球上一观察者,看见一飞船A以速度 从他身边飞过,另一飞船B以速度 跟随A飞行.求:（1）A上的乘客看到B的相对速度;（2）B上的乘客看到A的相对速度.,解:（1）选取地球为k系,飞船A为 系，则由相对论速度公式:,飞船对地：,A 对 地：,所以有：,(2)选取地球为K系,飞船B为 系,则在上公式中代入,可得：,习题5-2:一观察者测得运动着的米尺长0

27、.5m，问此尺以多大的速度接近观察者？,解:本题注意米尺的静止长度.由长度缩短 公式:,可得:,习题5-3：太阳由于向四面空间辐射能量，每秒损失了质量。求太阳的辐射功率。,解：根据辐射功率的定义，有,习题5-4：一个电子从静止开始加速到0.1c的速度，需要对它作多少功？速度从0.9c加速到0.99c又要做多少功？,解：,习题5-5：在什么速度下粒子的动量比非相对论动量大两倍？在什么速度下的动能等于它的静止能量？,解：因为,所以由,又由,可得,可得,解：（1）选取观察者为K系，原子核为 系，则相对论速度变换公式可用,代入,习题5-6：一原子核以0.5c的速度离开一观察者而运动。原子核在它运动方向

28、上向前发射一电子，该电子相对于核有0.8c的速度；此原子核又向后发射了一光子指向观察者。对静止观察者来讲，（1）电子具有多大加速度；（2）光子具有多大的速度。,（2）代入,“”号表示向者观察者，可见光速不变。,习题5-7：某人测得一 静止棒长为l，质量为m，于是求得此棒线密度为m/l。假定此棒以速度v在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度应为多少？若棒在垂直长度方向上运动，它的线密度又为多少？,解：当棒沿棒长方向运动时，由,可得,当棒在垂直方向上运动时，l不变 质量变了，所以,1.相对于地球的速度为 v 的一飞船，要到离地球为 5 光年的星球上去。若飞船的宇航员测得该旅程的时间为 3 光年，则

29、v 应为：,D,(A)c/2(B)3c/5(C)9c/10(D)4c/5,2在惯性系 K 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距 1000m 的两点，而在另一惯性系 K(沿x轴方向相对于 K 系运动)中测得这两个事件发生的地点相距 2000m.求在 K 系中测得这两个事件的时间间隔.,解：根据Lorentz变换公式，有,在 K 系，两事件同时发生，t1=t2 则,在 K 系上述两事件不同时发生，设分别发生于 t1 和 t2 时刻，则,3.观测者甲和乙分别静止与两个惯性参照系 K 和 K 中，甲测得在同一地点发生的两个事件间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s，求：(1)K 相对于K

30、的运动速度.(2)乙测得这两个事件发生的地点的距离.,解:（1）因两个事件在 K 系中同一地点发生，则根据时钟变慢公式，有,K系中（相对事件静止）的甲测得的是固有时Dt0=4s，而K 系中（相对事件运动）的乙测得的是运动时Dt=5s。,（2）求乙测得这两个事件发生地点的距离，由Lorentz变换式,4.在惯性系 S 中的某一地点发生了两事件A、B，B 比 A 晚发生 Dt=2.0 s,在惯性系 S 中测得 B 比 A 晚发生 Dt=3.0s。试问在 S 中观测发生 A、B 的两地点之间的距离为多少？,在惯性系 S 中,5.一固有长度L0=90 m的飞船，沿船长方向相对地球以 v=0.80 c 的速度在一观测站的上空飞过，该站测的飞船长度及船身通过观测站的时间间隔各是多少？船中宇航员测前述时间间隔又是多少？,6.一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为多少？（P.173 选择题 4）,解：飞船上的人测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的时间间隔固有时为,地球上的人测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的时间间隔运动时为,地球上的人测得两个事件的空间间隔等于：t 时间内飞船飞行距离与光传播的距离之和,