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1、4.2.1 变上限定积分,4.2定积分基本定理,4.2.2 微积分的基本公式,4.2.1 变上限定积分,如果 x 是区间 a,b上任意一点，定积分,表示曲线 y=f(x)在部分区间 a,x 上曲边梯形AaxC 的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当 x 在区间 a,b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,是上限变量 x 的函数.,记作 F(x)，,即,F(x),注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用 为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,
2、不影响积分结果.,通常称积分式,为变上限的积分,变上限的积分,有下列重要性质:,定理4.1 若函数 f(x)在区间 a,b 上连续，,则变上限定积分,在区间 a,b 上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,定理 4.1 告诉我们，,是函数 f(x)在区间 a,b 上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,所以，定理 4.1 也称为原函数存在定理.,变上限定积分,推论(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,在该区间上它的原函数一定存在.,例 1(1),求(x).,解根据定理4.1，得,(2)求,解,补充例,求(x).,解,(x),补充例,求 F(x).,解根据定理 1，得,*
3、补充例,解,例2,求,解 当,时,原式为,型不定式,可用洛必达法则求,得,4.2.2 微积分的基本公式,定理 如果函数 f(x)在区间a,b上连续，,F(x)是 f(x)在区间 a,b 上任一原函数，,那么,为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的,这样 上面公式就写成如下形式：,“NewtonLeibniz公式”,例 3 计算下列定积分.,解,4.2.3 定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质 1(1)两个函数和的定积分等于它们定积分的和，,即,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，,即,性质 1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质 3(积分对区间可加性)如果积分区间 a,b 被点 c 分成两个区间 a,c 和 c,b，那么,当点 c 不介于 a 与 b 之间，,即 c a b 或 a b c 时，,结论仍正确.,补充例题 计算下列定积分.,解,解把被积函数化简.,补例 计算,解,例4 求定积分,解,请在草稿纸上练习书上例题：,例5 设函数,求定积分,解,
