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1、第三讲复变函数与解析函数,1.复变函数的定义 2.映射的概念 3.反函数或逆映射,3 复变函数,1.复变函数的定义,与实变函数定义相类似,例1,例2,在几何上，w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2.映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3.反函数或逆映
2、射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w=z3，求区域 0argz 在平面w上的象。,例,1.函数的极限 2.运算性质 3.函数的连续性,4 复变函数的极限与连续性,1.函数的极限,几何意义:当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,(1)意义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2)A是复数.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3)若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.
3、函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数,1.复变函数的导数定义 2.解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一.复变函数的导数,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。,(1)z0是在平面区域上以任意方式趋于零。,(2)z=x+iy,z=x+iy,f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则,常数的导数 c=
4、(a+ib)=0.(zn)=nzn-1(n是自然数).,证明 对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广,设函数f(z),g(z)均可导，则 f(z)g(z)=f(z)g(z)，f(z)g(z)=f(z)g(z)+f(z)g(z),复合函数的导数(f g(z)=f(w)g(z)，其中w=g(z)。,反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。,思考题,例3 问：函数f(z)=x+2yi是否可导？,例2,解,解,例4 证明 f(z)=zRez只在z=0处才可导。,证明,(1)复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为
5、z0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。,(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。,(3)可导与连续,若 w=f(z)在点 z0 处可导 w=f(z)点 z0 处连续.,?,二.解析函数的概念,例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。,定理1 设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及 f(z)g(z)(g(z)0时)均是D内的解析函数。,定理 2 设 w=f(h)在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z)在 z 平面上的区域 D 内解析,h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析。,
