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1、第一章,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射与函数,元素 a 属于集合 M,记作,元素 a 不属于集合 M,记作,一、集合,1.定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M 为数集,表示 M 中排除 0 的集;,表示 M 中排除 0 与负数的集.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x 所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质
2、,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无限区间,点的 邻域,其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.,半开区间,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算,定义2.,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,二、映射,
3、1.映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.,集合 X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的 值域.,注意:,1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.,2)元素 x 的像 y
4、 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射 projection像 image原像 preimage定义域 D(f)(D comes from Definition)值域 R(f)(R comes from Result),对映射,若,则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2,3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2,引例2,例1.,海伦(Heron)公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射)
5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,X(数集 或点集),说明:,在不同数学分支中,X(),Y(数集),机动 目录 上页 下页 返回 结束,f 称为X 上的泛函,X(),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子(Operator).,有不同的惯用名称.例如,泛函 functional,变换 transformation,函数 function,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)复合映射
6、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映射,时,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,定义域,三、函数,1.函数的概念,定义4.设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数,记为,f(D)称为值域,函数图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,定义域,值
7、域,又如,绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域.,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,使,称,使,称,说明:还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11),(2)单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M,均存在,则称 f(x)无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数;,单调减函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)奇偶性,且有,若,则称 f(x)为偶函数;,若
8、,则称 f(x)为奇函数.,说明:若,在 x=0 有定义,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称 l 为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数.,机动
9、目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,函数,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,4.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数
10、、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,(自学,P17 P21),机动 目录 上页 下页 返回 结束,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,练习 P21 4(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20,2.函数的定义及函数的二要素,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,且,备用题,证明,证:令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c 为常数,且,为奇函数.,为奇函数.,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设函数,的图形与,均对称,求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数,周期为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
