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1、第3章 导数和微分,3.1 导数的概念 一、瞬时速度和切线斜率 在历史上，导数的概念主要起源于两个著名的问题，一个是求非匀速运动的瞬时速度问题，另一个是求曲线的切线问题。1 瞬时速度的求法 对于一个运动的物体，位移S是时间t的函数，记作SS(t)，求tt0时的瞬时速度可以研究从tt0到tt0+t这一段时间内的平均速度 当t 越小，v 越接近t0的瞬时速度 v。,2.切线斜率的求法 设曲线方程为 yf(x)，在点xx0处切线的斜率tan可以考察经过(x0,y0)和(x0+x,y0+y)两点的割线的斜率tan。y1f(x0+x)，tan 当x越小时，割线的斜率越接近切线的斜率，即：Y X,二、导数
2、定义 上述例子从不同方面的问题的研究中得出了相同 形式的结果，即都是函数的改变量与自变量的改变量 之比在自变量的改变量趋于时的极限。设函数yf(x)在点xx0处及其某个邻域内有 定义，当自变量x在x0处有增量x时，则函数y的增 量为 yf(x0 x)f(x0)。如果当x时极限 存在，则称函数yf(x)在x0处可导，并把这个极限值称为函数yf(x)在x0处的导数，记作f(x0)或y(x0)，即,如果当x时，这个比值的极限不存在，则称函数yf(x)在x0处不可导或没有导数。如函数 yf(x)在(a,b)内每一点都可导即在(a,b)内每一点的导数都存在，则称f(x)在(a,b)内可导；导数值函数称为
3、f(x)在(a,b)内的导函数，记作f(x)，或记作 y，。注意 f(x)是函数，但f(x0)是一个确定的数值，是f(x)在xx0时的导函数值，还可以表示为 对于闭区间 a,b，这种说法也成立。,例5求yxn的导函数(n为自然数)预备知识1.组合数的计算方法2.二项式定理解:根据定义求导数通常分三步：,例7 求ysinx的导函数 预备知识 sinxsiny sinxsiny cosxcosy cosxcosy 解：ysinx,ysin(xx)sinx（sinx）=cosx，类似可证明(cosx)=sinx,例7 求ylnx的导函数解：ylnx，yln(xx)lnx如令，则当x时u，,三、导数的
4、几何意义 由切线问题的分析中可知，f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率，这就是导数的几何意义。例9 求曲线yx3在点P(-2,-8)处的切线方程和法线方程预备知识 已知直线上的点(x0,y0)和直线的斜率k，直线的方程为：yy0k(xx0)切线的斜率k1和法线的斜率k2之间的关系是：解：y=(x3)=3x2，k=y(-2)3(-2)212切线方程为：y812(x2)，即12xy160法线方程为：y8(x2)由此可知，如果yf(x)在xx0处可导，则过(x0,y0)点的切线方程为y-y0f(x0)(x-x0),定理3.1如果函数yf(x)在x0处可导，则yf(x)在x0
5、处连续。证明：上述命题的逆命题不成立。即 yf(x)在点x0处连续，不一 定可导。例如 y|x|在x0处连 续，但在x0处不可导。,一般地说，如果函数yf(x)的图形在x0处出现尖点，则它在x0处不可导。曲线yf(x)在(x0,y0)处的切线不存在。若f(x)在x0处连续，但，则f(x)在点x0 处的导数也不存在，但曲线 在(x0,y0)处有切线，该切线 垂直于轴。切线方程为 xx0,3.2 求导法 一、加减求导法则 定理3.2 设u(x)和v(x)在点x处可导，则u(x)v(x)及u(x)v(x)也在点x处可导，且 u(x)v(x)u(x)v(x)。即：两个函数的和或差的导数等于这两个函数的
6、导数 的和或差。证明：设yu(x)v(x)，则yu(xx)v(xx)u(x)v(x)u(xx)u(x)v(xx)v(x)uv，由极限的运算法则知,例1 求 yx4sinxlnx 的导函数 解：y(x4)(sinx)(lnx)4x3cosx 二、乘法求导法则 定理3.3 设u(x)和v(x)在点x处可导，则u(x)v(x)在点x处也可导，且 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)。即：两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。例2 求 yx7cosx 的导函数 解：y(x7)cosxx7(cosx)7x6cosxx7sinx,推论 设u
7、(x)在点x处可导，c为常数，则 cu(x)cu(x)即：常数与函数积的导数等于常数与函数导数的积，或者说，常数系数可提到求导符号外面来。例3 求 y(exx2)(2xcos x)的导数 解：y(exx2)(2xcosx)(exx2)(2xcosx)(ex2x)(2xcosx)(exx2)(2sinx)现在我们来证明 证明：,三、除法求导法则 定理3.4 设u(x)和v(x)在点x处可导，且v(x)0，则在点x处也可导，且即：两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。例4 求 ytan x 的导函数 解：y,例5 求 ysec x 的导函数 解：y 小结
8、导数四则运算的法则为：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)+u(x)v(x),四、复合函数求导法则定理3.5 如果函数yf(u)对u可导，函数ug(x)对x可导，则复合函数yfg(x)对x也可导，且fg(x)f(u)g(x),或写作。即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。证明：设y、u、x分别为y、u、x的增量，因为ug(x)在x处可导，所以ug(x)在x处连续，当x0时u0。由 和 可得,例6 求 ycot3x 的导函数解：设yu3，ucotx，y3u2(-csc2x)=-3 cot2x csc2x例8 求ylnsinx3的导
9、函数解：,五、隐函数求导法 所谓隐函数是指y是x的函数，但y与x之间的关系只能由F(x,y)0给出，而不易化成yf(x)的形式的函数。例 已知x3y33axy，求y解：把y看成是x的函数，则y3、3axy是x的复合函数，等式两边同时对x求导，得3x23y2y3ay3axy整理得,利用隐函数求导法则，可以推出以下几个基本初等函数的导数公式：(ax)axlna(ex)ex(x)x-1(为任意实灰),对数求导法例13 求y 的导数解：两边取对数，得 lny ln|x-1|ln|x-2|ln|x-3|ln|x-4|两边对x求导，得 所以 例 求yxsinx的导数解：两边取对数，得 lnysinxlnx
10、 两边对x求导，得 所以,象yxsinx这样的幂指函数的求导，还可以直接写出它的导数，方法是先将它看作为幂函数求一次导数得sinxxsinx-1，再将它看作为指数函数求一次导数得xsinxlnxcosx,把两次求导的结果相加即为y。例 求下列函数的导数 ye3xa5x yeaxcosbx解：ye3x3a5xlna53e3x5a5xlna yeaxacosbxeax(sinbxb)eax(acosbxbsinbx),六、初等函数求导,导数公式表 yc(c为常数)y0yx(为实数)yx-1ylogax y ylnxyyax yaxlna yex yexysinxycosx ycosxy-sinxy
11、tanxysec2x ycotxy-csc2xysecx ysecxtanx ycscxy-cscxcotxyarcsinx y yarccosx yyarctanx y yarccotx y,3.3 微分一、微分和可微 设函数yf(x)在x0处可导，如用x表示自变量x的改变量，则称 f(x0)x为函数y在点x0处的微分，记作dy，即dyf(x0)x 考察函数yx，则dxdy(x)xx 故微分又可表示为dyf(x)dx1.微分是函数增量的近似值 等式右边的部分就是函数y的微分dy，所以ydy2.微分是函数增量的线性主部,3.可导与可微是等价的 函数yf(x)在x0处可导，则函数yf(x)在x0
12、处可微；反之亦然，函数yf(x)在x0处可微，则函数yf(x)在x0处可导。4.微分的几何意义 Y如图，PNx，PNy，f(x)tanTPN PTNf(x)xdy T所以y表示曲线纵坐标的改变 P N量,dy表示切线纵坐标的改变量。这就是微分的几何意义。X,二、微分在近似计算中的应用 对于函数yf(x)，当xx0 x时，yf(x0)yf(x0)dy 因此，我们可以用式子yf(x0)f(x)x进行近似计算。例1 利用微分近似计算,例2证明：当x|很小时，ex1x证明：设f(x)ex，则f(x)ex，当x|很小时，x0 x，则x00，xx，exe0e0 x1x类似地，当x|很小时还有：ln(1+x
13、)x，sinxx，tanxx，(1+x)1+x三、微分公式与微分运算法则 微分公式为：dyf(x)dx，因此，求函数的微分可以先求出函数的导数，然后再乘以dx即可。注意 在求微分的结果中，千万不要漏写最后面的dx,微分基本公式yC dy0 yx dyx-1dxylogax dy dx ylnx dy dxyax dyaxlnadx yex dyexdxysinx dycosxdx ycosx dy-sinxdxytanx dysec2xdx ycotx dy-csc2xdxysecx dysecxtanxdx ycscx dy-cscxcotxdyarcsinx dy dx yarccosx
14、dy dxyarctanx dy dx yarccotx dy dx,微分的四则运算法则 d(uv)dudv d(cu)=cdu(c为常数)d(uv)udvvdu 例 设y2x43excosx，求dy解：dyd(2x43excosx)d(2x4)d(3ex)d(cosx)8x3dx3exdxsinxdx(8x33exsinx)dx例6 求yexsin2x的微分解：yexsin2x2excos2x，dyex(sin2x2cos2x)dx,四、微分形式不变性 对于复合函数yf(u),ug(x),dyf(u)g(x)dx，但g(x)dxdu,故dyf(u)du。可见，无论变量u是自变量还是中间变量，
15、函数的微分都等于函数对该变量u的导数与该变量的微分du的乘积。这叫做微分的形式不变性。用换元法求微分例 求函数yesinx的微分解：令usinx，则ducosxdx 原函数换元后变为yeu 则dyeuduesinxcosxdx,五、参数方程表示的函数的微分法例7 设xRcost，yRsint，其中R为常数，求导数,3.4 高阶导数定义 函数yf(x)的导数f(x)的导数f(x)叫做f(x)的二阶导数，记作f”(x)或y”，yf(x)的二阶导数f”(x)的导数f”(x)叫做f(x)的三阶导数，记作f(x)或y，依此类推，yf(x)的 n1 阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记作f(n)(x)或y(n)，二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。,例 设yexcosx，求y和y”解：yexcosxex(sinx)ex(cosxsinx)y”ex(cosxsinx)ex(sinxcosx)2exsinx例1 求函数 yax 的 n 阶导数解：y(lna)ax y”(lna)2ax y(n)(lna)nax,例2 求函数 yxn 的 n 阶导数解：ynxn-1 y”n(n-1)xn-1y(n)n!x0n!作业：P.115 4，7 P.125 1，2，3 P.135 4,9，10，13，14 P.140 1,2，3，6P.141 1，3,
