微积分第二章 导数与微分.docx

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1、微积分第二章 导数与微分第二章 导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 知识 1记住导数和微分的各种术语和记号； 2知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4记住常数及基本初等函数的导数公式； 5知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6知道高阶导数的定义； 7知道隐函数的定义； 8记住反函数的求导法则； 9记住参数方程所确定

2、的函数的一、二阶导数的求导公式； 10知道对数求导法及其适用范围； 11知道相关变化率的定义及其简单应用； 12记住基本初等函数的微分公式； 13知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 领会 1 领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 2 领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 3 领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 4 领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 5 领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 6 领会微分形式的不变性； 7 领会函数在一点处可导、可微和连续之间的

3、关系； 8 领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 运用 1 会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 2 会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 3 会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 4 会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 5 会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 6 会求反函数的导数； 7 会求复合函数的导数； 8 会求隐函数的一阶、二阶导数； 9 会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10会求函数的高阶导数； 11会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12会用

4、对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13会用微分定义和微分法则求微分； 14会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15会用微分求函数的近似值。 分析综合 1 综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 2 综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性； 3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数； 4 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相关变化率问题；综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差

5、估计问题。 二、教学内容的重点及难点： 1 导数的概念与几何意义及物理意义； 2 可导与连续的关系； 3 导数的运算法则与基本求导公式； 4 微分的概念与微分的运算法则； 5 可微与可导的关系。 三、教学内容的深化和拓宽： 1 导数概念的深刻背景； 2 复合函数的求导法则的应用； 3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数 公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数； 4 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线 的问题及相关变化率问题。 2.1 导数的概念 一、内容要点 1 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度。 2 函数在一点

6、处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率，即 Dyf(x0+Dx)-f(x0)f(x)-f(x0)f(x0)=lim=lim =limDxDxx-xDx0Dx0Dx003单侧导数的定义 1) 函数可导性与连续性的关系：若函数在一点处可导，则函数在该点处连续，反之不然。 2) 导数的实用举例 二、教学要求和注意点 教学要求： 1 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义。 2 理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件。 3 了解函数可导的充要条件：f(x0)存在f+(x0)=f-(x0) 教学注意点： 1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在

7、该点的变化率： dydxdudq切线的斜率k=；速度u=与加速度a=；角速度w=与角加速度b=dwdt；电流i=dxdQdtdtdtdt，等等。 2 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。 3 注意要用函数可导的充要条件：f(x0)存在f+(x0)=f-(x0)来判断 分段函数在分段点处是否可导。 主要内容： 一、 引例 1、 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P的切线是割线PQ当Q沿该曲线无限地接近于P点的极限位置。 设曲线方程为y=f(x)，设P点的坐标为p(x0,y0)，动点Q的坐标为Q(x,y)，要

8、求出曲线在P点的切线，只须求出P点切线的斜率k。由上知，k恰好为割线PQ的斜率的极限。我们不难求得PQ的斜率为：f(x)-f(x0)x-x0；因此，当PQ时，其极限存在的话，其值就是k，即k=limf(x)-f(x0)x-x0。 xx0若设a为切线的倾角，则有k=tana。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为s=s(t)，又设当t为t0时刻时，位置在s=s(t0)处，问：质点在t=t0时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取t0近邻的时刻t，tt0，也可取t0,a1)的导数。 f(x+h)-f(x)hax+hx解：f(x)=limh0=lim-ahxh0=alimxa-1hhh0令b=

9、a-1h=alimxbloga(1+b)b0=alimx11b0=ax1logae=alna xloga(1+b)b所以(ax)=axlna。 注：特别地，(ex)=ex。 求f(x)=logax(a0,a1)的导数。 解：f(x)=lim1xf(x+h)-f(x)hhxxh0=limloga(x+h)-logaxh1xlnaloga(1+=limh0hh0h)x =limh0loga(1+)h=1xlogae=。 注 1：等最后讲到反函数求导时，可将logax作为ax的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步： 一、给出Dx； 二、算出Dy； 三、求增量比四、求极限。 3、(lnx)=讨论f

10、(x)=x在x=0处的导数。 f(0+h)-f(0)hhh1xDyDx； 。 解：考虑limh0=limh0=limsgnh，由1.4例4知limsgnh不存在，故x在x=0h0h0点不可导。 然而，limsgnh=-1及limsgnh=1，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若h0-0h0+0h0+0limf(x0+h)-f(x0)hf(x)-f(x0)x-x0，即limf(x)-f(x0)x-x0xx0+0limf(x0+h)-f(x0)h即 h0-0 limxx0-0存在，就称其值为f(x)在x=x0点的右导数，并记为f+(x0)(f-(x0)，即f+(x0)=limf(x0+h)-f

11、(x0)hf(x)-f(x0)x-x0h0+0=limf(x)-f(x0)x-x0xx0+0 f-(x0)=limf(x0+h)-f(x0)hh0-0=limxx0-0。 定理1：f(x)在x=x0点可导f(x)在x=x0点的左导数和右导数均存在，且相等，即 f-(x0)=f+(x0)。 注1：例8f(x)的左导数为-1，右导数为1。因为-11，所以在x=0点不可导； 2：例8也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数； 4：若f(x)在(a,b)内可导，且在x=a点右可导，在x=b点左可导，即f+(a),f-(b)存在，就称f(x)在a,b上可导。 四、 导数的几何

12、意义 由前面的讨论知：函数y=f(x)在x=x0的导数f(x0)就是该曲线在x=x0点处的切线斜率k，即k=f(x0)，或f(x0)=tana,a为切线的倾角。从而，得切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)。若f(x0)=，a=p2或-p2 切线方程为：x=x0。过切点P(x0,y0)，且与P点切线垂直的直线称为y=f(x)在P0点的法线。如果f(x0)0，法线的斜率为-1f(x0)，此时，法线的方程为：y-y0=-1f(x0)(x-x0)。 如果f(x0)=0，法线方程为x=x0。 求曲线y=x在点P(x0,y0)处的切线与法线方程。 解：由于(x3)x=x03=3x2x=x0=3x0，

13、所以y=x在P(x0,y0)处的切线方程为： 223 y-y0=3x0(x-x0) 当x00时，法线方程为： y-y0=-13x02(x-x0) 当x0=0时，法线方程为： x=0。 五、 函数的可导性与连续性之间的关系 定理2：如果函数y=f(x)在x=x0点可导，那么在该点必连续。 证明：由条件知：lim=f(x0)是存在的，其中Dx=x-x0,Dy=f(x)-f(x0)， DxDy 由1、5定理1(i)=f(x0)+a Dy=f(x0)Dx+aDx DxDx0Dy 显然当Dx0时，有Dy0，所以由1、9定义1，即得函数y=f(x)在x=x0点连续，证毕。 注 1：本定理的逆定理不成立，即

14、连续未必可导。 反例：y=x在x=0点连续，但不可导。 ex 求常数a,b使得f(x)=ax+bx0x0,a1)。 p2。 解：利用指数函数的导数，自己做。 二复合函数的求导公式 复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。 定理2：如果u=j(x)在x=x0点可导，且y=f(u)在u=u0=j(x0) 点也可导，那么，以y=f(u)为外函数，以u=j(x)为内函数，所复合的复合函数y=f(j(x)在x=x0点可导，且dydxx=x0=f(u0)j(x0)，或f(j(x)x=x0=f(u0)j(

15、x0) 证明： limf(j(x)-f(j(x0)x-x0f(u)-f(u0)u-u0limxx0=limxx0f(u)-f(u0)j(x)-j(x0) u-u0x-x0 =limj(x)-j(x0)x-x0uu0xx0=f(u0)j(x0) 所以f(j(x)$,=f(u0)j(x0)。 注 1：若视x0为任意，并用x代替，便得导函数： df(j(x)dxdydx=f(j(x)j(x)，或f(j(x)=f(j(x)j(x) dudx 或dydu。 2：f(j(x)与f(j(x)不同，前者是对变量u=j(x)求导，后者是对变量x求导，注意区别。 3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 4：

16、复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： f(g(h(x)=f(g(h(x)g(h(x)h(x)等。 求y=arctan1x1x的导数。 1x解：y=arctan可看成arctanu与u=11+u2复合而成， 1x11+x12(arctanu)=，=-x11x2， y=(arctan)=(-1x2)=-11+x2。 解：y=x 所以y=(x)=(e)(mv)(lnx)=em这就验证了前面2、1的例4。 由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必

17、写出中间mmu求y=x的导数。 mm=emlnx是y=e，u=mv,v=lnx复合而成的。 u1x=m1xxm=mxm-1。 变量，而直接写出结果。 y=21-x，求y。 1解：y=(1-x)=(1-x)2= y=e解： y=(e1-sinx221211-x2(1-x)=-2x1-x2。 ，求y。 )=e1-sinx1-sinx(1-sinx)=e1-sinx1(1-sinx) 21-sinx = 12e1-sinx-cosx1-sinx=-12cosx1-sinxe1-sinx。 y=arcsin(2cos(x2-1)，求y。 解：y=(arcsin(2cos(x2-1)=11-2cos(x

18、-1)22(2cos(x-1) 2 =11-4cos(x-1)222-sin(x-1)(x-1) 22 = -2sin(x-1)1-4cos(x-1)2222x=-4xsin(x-1)1-4cos(x-1)222。 y=ln(ln(lntan解：y=1ln(lntanx2)1x2)，求y。 (ln(lntanx21)=1ln(lntanx21x2(lntanx2) )lntan1 =1ln(lntanx2)lntanx2tanx2(tanx2)=1x2ln(lntanx21tanx21cos2)lntanx x22 =121cos2x21tanx21lntanx21lnlntanx2=1sin

19、x1lntanx21lnlntanx2。 shx=(e-e2x-x)=12(e-ex-x)=12(e)-(ex-x) =12e-ex-x(-1)=12e+ex-x， 即shx=chx。同理，chx=shx。 y=ln(x+1+x2)，求y。 解：y=ln(x+1+x)=x+211+x22(x+1+x) 2 =x+11+x1x+1+x221+121211+x2x1+x22(1+x) =(1+)=11+x2=(arsh)x。 同理： (ln(x+ x-1)=21x-12=(archx)。 初等函数的求导公式 1、 常数和基本初等函数的求导公式： (c)=0 (xm)=mxm-1 (sinx)=co

20、sx (cosx)=-sinx (tanx)=sec2x (cotx)=-cscx (secx)=secxtanx (cscx)=-cscxcotx (a)=alna (e)=e (log (arcsinx)=11+x2a2xxxxx)=1xlna (lnx)=1x11-x2 (arccosx)=-11-x11+x22(arctanx)= (arccotx)=- (shx)=chx (chx)=shx (thx)=1chx22(arcshx)=(ln(x+x+1)=1x+12(arcchx)=(ln(x+1x-1)=11-x221x-12(arcthx)=(ln21+x1-x)= 2、 函数的

21、四则运算的求导法则： 设u=u(x),v=v(x)，则 (i)(uv)=uv (ii)(cu)=cu (iii)(uv)=uv+uv (iv)=vuuv-uvv2 (v0) 3、 复合函数的求导法则： 设y=f(u),u=j(x)y=f(j(x)的导数为： df(j(x)dx=dydx=dydu 或 dudxdj(x)dxf(j(x)=f(j(x)j(x) 或 df(u)duu=j(x) 2.3 高阶导数 一、内容要点 1 高阶导数的定义； 2 一些特殊函数的高阶导数公式； 3 两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 二、教学要求和注意点 教学要求： 1了解和会求高阶导数； n2知道莱布尼兹求导公

22、式：(uv)教学注意点： 要求学生记住高阶导数 (e)x(n)(n)=Ck=0knu(n-k)v(k)=e;(sinx)n(n)x(n)=sin(x+(n)np2);(cosx)n-1(n)=cos(x+np2); x1=(-1)n!xn+1;(lnx)=(-1)(n-1)!nx是有用的。 主要内容： 前面讲过，若质点的运动方程s=s(t)，则物体的运动速度为v(t)=s(t)，或v(t)=dsdt，而加速度a(t)是速度v(t)对时间t的变化率，即a(t)是速度v(t)对时间t的导数：a=a(t)=dvdta=ddt(dsdt由上可见，加速度a是s(t)的导函数的)或a=v(t)=(s(t)，导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义： 定义：若函数y=f(x)的导函数f(x)在x0点可导，就称f(x)在点x0的导数为函数y=f(x)在点记为f(x0)，即limx0处的二阶导数，在点x0处二阶可导。 注1：若y=f(x)在区间I上的每一点都二次可导，则称f(x)在区间I上二次可导，并称f(x),xI为f(x)在I上的二阶导函数，简称二阶导数； 2：仿上定义，由二阶导数f(x)可定义三阶导数f(x)，由三阶导数f(x)可定义四阶导数f(4)f(x)-f(x0)x-x0xx0此