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1、十一章 热应力,当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学,根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。,第一节 温度场与热传导的基本概念第二节 热传导方程第三节 温度场的边值条件第四节 按位移求解温度应力的平面问题第五节 微分方程的求解第六节 轴对称温度场平面热应力问题第七节 稳定温度场的差分解第八节 应力函数差分解,第一节 温度场与热传导的基本概念,当弹性体的
2、温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。,一 基本概念 1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。即 T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化，称为稳定温度场。,2.等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动，温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化率最快。,3.温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温度增大的方向，其大小等于，取沿等温面法线方向的单位矢量为n0。则,n
3、0为沿等温面法线方向的单位矢量。,若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置坐标变化而变化，称为平面温度场。,(1),温度梯度在各坐标轴的分量为:,4.熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面面积的热流速度称为热流密度，即,q 熱流密度S 等温面面积,(2),熱流密度的矢量表示为,5.热传导基本定率 热流密度与温度梯度成正比且方向相反。,为导热系数.,由上述公式(1)、(3)、(4)得,(3),(4),q,(5),式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。,由式（1）和（4）知,热流密度在坐标轴上的投影,(6)
4、,式（6）与式（2）比较得,式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。,(7),第二节 热传导微分方程的推导,1.热平衡原理 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。,2.热传导微分方程的推导,如图取微小六面体dxdydz,假定该六面体的,它所积蓄热量是,温度在dt时间内升高了，,c dxdydz dt,其中是物体密度，c是比热容。,在时间dt内，由六面体ABAB 面传入的热量为qxdxdydzdt,由CDCD面传入的热量为,由式,传入的静热量为：,同样可得：,由ADDA 和BCCB两面传入的静热量
5、为：,由ABCD 和ABCD两面传入的静热量为：,因此，传入微小六面体的总静热量为：,假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生的热量为Wdxdydzdt,根据热量平衡原理得：,化简得：,记,称为温度系数,上式可简写为：,这就是热传导微分方程。,第三节 温度场的边值条件,为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体表面与周围介质之间热交换的规律,即所谓边界条件。二者合成边值条件。,初始条件一般表示如下：,(T)t=0=f(x,y,z),边界条件有四种形式：第一类边界条件 已知物体表面
6、上任一点在所有瞬间的温度，即：Ts=f(t)其中Ts表示物体表面的温度。,第二类边界条件 已知物体表面上任一点点处的法向热流密度，即：(qn)s=f(t),第三类边界条件 已知物体边界上任一点在所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度和两者的温差成正比。即：(qn)s=(Ts-Te)其中：放热系数 Ts 物体表面温度,Te 周围介质温度,或,第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即：Ts=Te,设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点的微小长度发生应变T，为线热胀系数,弹性体内各点的形变分量为：,第四节 按位移求解温
7、度应力的平面问题,x=y=z=，yz=zx=xy=0,由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产生温度应力。,因而总的形变分量为：,(8),如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。因而有,并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分量的物理方程，即热弹力学物理方程：,(9),由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所表示的应力分量物理方程：,其中,(11),(10),将式（11）代入式（10）得：,为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。又平面平衡微分方程为：,在此体力为零，,(12),(13),将式（1
8、3）代入（12）并化简得：,又据平面问题的应力边界条件得：,(14),(15),把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想体力,和假想面力,所引起的应力。,平面应变时假定yz=zx=z=0，由式（8）可得物理方程：,因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方程中的,则得到在平面应变条件下的相应方程。,换成,(1+),E换成,换成,在求解微分方程（14）时，应分两步进行。1.求出微分方程的任一组特解。2.不计变温T,求出微分方程的一组补充解，并使它和特解叠加以后满足边界条件。,为了求得微分方程的一组特解，引用一个函数（x,y），使,第五节 微分方程
9、的求解,u.v为微分方程的特解。,即为,又u.v都是常量，所以取：,代入微分方程（14）并化简得：,时，（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方程(14)的一组特解。,(16),将,及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：,位移的补充解u.v满足式（14）的齐次方程,相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出,从而得总的位移分量：,u=u+u v=v+v,并满足位移边界条件。,满足应力边界条件。,在平面应变条件下，将上述各方程中的,换成,(1+)。,总的应力分量：,E换成,换成,下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于该类问题，由于只存在位移分量，故可直接按
10、位移法求解。设圆筒的内外径分别为a,b，不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程,中的第二式自然满足，而第一式成为：,第六节 轴对称温度场平面热应力问题,几何方程：,中的第三式自然满足，第一，二式成为：,物理方程：,中的第三式自然满足，而第一，二式成为：,得按位移求解轴对称热应力的基本方程：,再代入,代入,可表示为,上式改写：,积分两次可得到轴对称问题位移分量：,式中c1,c2 为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。,由上式可得应力分量：,在无面力条件下，由边界条件,可求出积分常数：,(17),将它们代入(17)得:,对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为：,按 的条件，应力分量,代入上式得：,(上式
11、所示应力在无限长圆筒中或在两端受纵向完全约束的有限长圆筒中才可能发生。),例：设圆筒从某一均匀温度加热，内表面增温Ta，外表面增温Tb，试求筒内无热源，热流稳定后的热应力。,解：首先求温度场，由热传导微分方程,Ta,Tb,a,b,无热源，热流稳定后的热热传导微分方程为,或,积分两次得:,由边界条件,Ta,Tb,a,b,对于轴对称温度场有,将上式代入式(17)积分后得：,Ta,Tb,a,b,求出任意常数A和B后，再代入上式，得温度场：,第七节 稳定温度场的差分解,1.稳定温度场的差分解在无热源的平面稳定温度场中，有,热传导微分方程,简化为,为了用差分法求解，在温度场中织成网格，如图所示，在结点0
12、处有,将上式代入,得差分方程,T0T1T3T5T7=0(18),若温度场的全部边界都具有第一类边界条件，即每一个边界结点的T值都已知，只要对每一个结点分别建立形如式（18）的差分方程,即可求得弹性体内所有结点的T值。,具有第二类边界条件的结点0，如图，假定结点0的边界垂直与x轴，其外法线的方向沿x轴正向的，则边界条件,（qx）0是结点0沿x方向的热流密度。,解出T1后代入式（18）得修正差分方程,如边界是绝热边界或对称轴，(qx)0=0,前二式可化简为：,4T0T72T5T3=0(19),具有第三类边界条件的边界结点0，如图，已知介质的温度为Te,则边界条件为：,对上式用差分公式得,对上式用差
13、分公式得,具有第四类边界条件的边界结点，在完全接触的情况下，两个接触体 的温度场是连续的，只要两个接触体具有相同的热性常数，这个边界接点就和内接点完全一样。,解出T1后代入式（18）得修正差分方程,第八节 温度应力问题的应力函数差分解,温度应力的平面问题的物理方程为,其中T是变温，代入形变相容方程,得,令体力为零,由平衡微分方程得,上述二式分别对x,y求偏导相加得,代入式（26）化简得,因在温度应力问题中，没有体力作用，令,代入式（19）得,(19),(20),温度应力问题中，面力分量 为零，故边界上所有各点都有,成立。用差分法求解温度应力将式（20）化成差分方程,其中（图）：,利用上两式得到所需的差分方程：,根据边界条件，可得到边界条件的差分形式,这样，求解温度应力问题就是在上述边界条件下求解差分方程，这些方程中只包含内结点处的应力函数值，然后求得各结点处的应力分量。,
