《《微分方程应用》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微分方程应用》PPT课件.ppt（24页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第六节 微分方程应用,利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：,(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；,(2)求出微分方程的通解；,(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,本节将通过一些实例说明微分方程的应用,例1,一曲线通过点(2,3)，该曲线上任意一点(x,y)处的法线与x轴的焦点为，且线段P恰被y轴平分，求此曲线的方程,解,）列方程：设所求曲线方程为yy(x)，,则它在(x,y)处的法线方程为：,即得曲线应满足微分方程:,令=，得法线在x轴上的截距为：,由题设条件得:,由于曲线过点(2,3)，故得初值条件:,）求通解，将方程（）分离变量
2、，得：,将初值条件（）代入通解，得：,将上式两端积分，得通解：,）求特解,则所求曲线方程为：,例2,设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。,解,设降落伞下落速度为 v=v(t),降落伞在空中下落时，,同时受到重力 P 与阻力 R 的作用(图2)，,重力大小为 mg，方向与 v 一致；,阻力大小为 kv(k 为比例系数)，方向与相反，,图2,根据牛顿第二运动定律 F=ma(其中 a 为加速度)，,得函数v=v(t)的微分方程为,从而降落伞所受外力为,(3),由题意，初始条件为.,因为方程(3)是可分离变量的,
3、这就是方程(3)的通解,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为,也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动,分离变量后得,两边积分,得,即,将初始条件 代入(4)式，,得,(5),由(5)式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数,且不会超过,解,1)列方程设所求曲线为 y=y(x),则它在任意一点(x,y)处的切线方程为:,令X=0,得切线在y轴上的截距为,由题设条件得,于是,两端积分,由于曲线过点(3,4),故得初值条件,2)求通解方程(6)是齐次方程,另y=u(x)x,则,即,得通解：,(3)求特解将初值条件()代入通解,解得c=9,则曲线方程为,例4,已知物体在空气
4、中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律,解,可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的,由题意，得,其中 k 是比例系数(k 0),由于是单调减少的，即,设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为，,则水的冷却速率为,(1),所以(1)式右边前面应加“负号”初始条件为,对(1)式分离变量，得,两边积分,得,即,其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定，,即,解得,因此瓶内水温 与时间 的函数关系为,解,设所求物体的运动方程为s=s(t),由牛顿第二定律及题意得二阶微分方程,初始
5、条件:,将初始条件,从而所求运动方程为,微分方程的通解为:,将初值条件:,故所求积分曲线方程为,例7,解,设在时刻t时链条垂下s(单位:m),链条的线密度(单位长度的质量)为,则链条所受的外力大小等于垂下部分链条所受的重力sg(g为重力加速度).根据牛顿第二定律F=ma,可得微分方程为,长为6m的链条自高6m的桌上无摩擦地向下滑动,假定在运动开始时,链条自桌上垂下部分已有1m长,试问需经多长时间链条才全部滑过桌子?,按题意，在运动开始时，链条自桌上垂下的部分已有m长，且无初速度，所以有初值条件：,方程（）是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,故得通解为,将（）式对t求导，得：,把初值条件（）
6、代入（）及（）式，得,于是所求满足初值条件的特解为,求链条全部滑过桌子所需的时间t当链条全部滑过桌子时，s，代入（）式得：,由此可解得,这就是链条全部滑过桌子所用的时间，其中gm/s,例 8,在如图5.3所示的电路中，先将开关K 拨向 A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B 设开关K拨向A的时间 t=0,求 时回路中的电流 i(t).,已知E=20伏，C=0.5法拉，L=1.6亨利，R=4.8欧姆；且,图5.3,解,在电路R-L-C中各元件的电压降分别为,根据回路电压定律，得,将上述各式代入，得,在上式两边对 t 求导，,将R=4.8，L=1.6，C=0.5代入，得,因此得,即,(8),方程(8)的特征方程为,特征根为,为求得满足初始条件的特解，求导数得,图5.4,图5.4为电流 i 的图象当开关K拨向B后，这回路中的反向电流 i，先由0开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零,所以方程(8)的通解为,将初始条件 代入，,得,解得,因此得回路电流为,小结：,在利用微分方程寻求实际问题中未知函数的三个步骤中，关键是第一个步骤，即根据实际问题建立微分方程，确定初始条件而建立微分方程的方法，主要是利用导数的几何意义或物理意义直接列出方程然后求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解,
