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1、第3章 微波传输线,31 引言 32 带状线33 微带传输线34 耦合带状线和耦合微带线35 金属波导传输线的一般理论36 矩形波导37 圆波导,31 引言,微波传输线是用来传输微波信号和微波能量的传输线。微波传输线种类很多,按其传输电磁波的性质可分为三类:TEM模传输线(包括准TEM模传输线),如图311(1)所示的平行双线、同轴线、带状线及微带线等双导线传输线;TE模和TM模传输线,如图311(2)所示的矩形波导,圆波导、椭圆波导、脊波导等金属波导传输线;表面波传输线,其传输模式一般为混合模,如图311(3)所示的介质波导,介质镜像线等。,图 311,在微波的低频段,可以用平行双线来传输微
2、波能量和信号;而当频率提高到其波长和两根导线间的距离可以相比时,电磁能量会通过导线向空间辐射出去,损耗随之增加,频率愈高,损耗愈大,因此在微波的高频段,平行双线不能用来作为传输线。,为了避免辐射损耗,可以将传输线做成封闭形式,像同轴线那样电磁能量被限制在内外导体之间,从而消除了辐射损耗。因此,同轴线传输线所传输的电磁波频率范围可以提高,是目前常用的微波传输线。但随频率的继续提高,同轴线的横截面尺寸必须相应减小,才能保证它只传输TEM模,这样会导致同轴线的导体损耗增加,尤其内导体引起损耗更大,传输功率容量降低。因此同轴线又不能传输更高频率的电磁波,一般只适用于厘米波段。,32 带状线,带状线的结
3、构如图321所示,它是由一条厚度为t,宽度为W的矩形截面的中心导带和上、下两块接地板构成。两接地板的距离为b。中心导带的周围媒质可以是空气,也可以是其它介质。带状线中传输的主模为TEM模。,图 321,一、特性阻抗 由长线理论可知,TEM模传输线特性阻抗的计算公式为,(321),式中L1和C1分别为带状线单位长度上的分布电感和分布电容;vp为带状线中TEM模的传播速度。用保角变换方法求得零厚度中心导带带状线特性阻抗的精确公式为,(322),式中,为第一类完全椭圆积分,为第一类余全椭圆积分,为模数,为余模数。,图 322,二、带状线尺寸的设计考虑 带状线中除传输主模TEM模外,还可能传输其它模式
4、。据分析只要带状线的尺寸满足关系式,(323),则带状线中保证只传输主模TEM模。式中min为最短工作波长。为了减少横向辐射,接地板宽度D和接地板间距b必须满足,(324),33 微带传输线,微带线的结构如图331所示。它是由介质基片的一边为中心导带,另一边为接地板所构成,其基片厚度为h,中心导带的宽度为w。其制作工艺是先将基片(最常用的是氧化铝)研磨、抛光和清洗,然后放在真空镀膜机中形成一层铬-金层,再利用光刻技术制成所需要的电路,最后采用电镀的办法加厚金属层的厚度,并装接上所需要的有源器件和其它元件,形成微带电路。,图 331,一、微带线中的主模 对于空气介质的微带线,它是双导线系统,且周
5、围是均匀的空气,因此它可以存在无色散的TEM模。但实际上的微带线是制作在介质基片上的,虽然它仍然是双导线系统,但由于存在空气和介质的分界面,这就使得问题复杂化。可以证明,在两种不同介质的传输系统中,不可能存在单纯的TEM模,而只能存在TE模和TM模的混合模。但在微波波段的低频端由于场的色散现象很弱,传输模式类似于TEM模,故称为准TEM模。,二、微带线的特性阻抗 在微波波段微带线工作在弱色散区,因此把微带线的工作模式当作TEM模来分析,这种方法称为“准静态分析法”。由前面分析知道TEM模传输线的特性阻抗的计算公式为,(331),因此只要求出微带线的相速度vp和单位长度分布电容C1,则微带线的特
6、性阻抗就可求得。对于图332(a)所示的空气微带线,微带线中传输TEM模的相速度vp=v0(光速),并假设它的单位长度上电容为C01,则其特性阻抗为,(332),图 332,为此,我们引入一个相对的等效介电常数为re,其值介于1和r之间,用它来均匀填充微带线,构成等效微带线,并保持它的尺寸和特性阻抗与原来的实际微带线相同,如图(d)所示。这种等效微带线中波的相速度为,微带线中波的相波长为,(333),微带线中单位长度的电容为,(334),(335),故微带线的特性阻抗为 由此可见,如果能求出图332(d)的等效微带线的特性阻抗,就等于求得了图332(c)标准微带线的特性阻抗。由式(336)可以
7、看出,微带线特性阻抗的计算归结为求空气微带线的特性阻抗Z01和相对等效介电常数re。,(336),应用保角变换方法确定空气微带线的电容C01和实际微带线的电容C1,两者比值的倒数为相对等效介电常数,即,(337),式中q为填充因子,表示介质填充的程度。当q=0,则re=1,表示无介质填充;当q=1,则re=r,表示全部介质填充。可以证明q值主要决定w/h值,而与r关系不大,其计算公式为,(338),图333给出了空气微带线特性阻抗Z01及填充因子q和微带线的形状比w/h的关系曲线。实际微带线的特性阻抗可以应用逼近法直接查图333求得,也可以查实际微带线特性阻抗Z0和r、w/h的关系曲线或表格,
8、这些曲线和表格在微波工程手册中均可查得。,图 333,表331 微带线特性阻抗Z0和相对等效介电常数与尺寸的关系,三,微带线的色散特性和尺寸设计考虑;(一)微带线的色散特性 上述讨论的特性阻抗和等效介电常数的计算公式是假定微带线传输TEM模,并用准静态分析方法得到的。只有在频率比较低时,这样处理才能满足一定的精度,当频率比较高时,微带线中的传输模式不是TEM模,而是混合模。微带线中的电磁波的速度是频率的函数,它使得微带线的特性阻抗Z0和re将随频率而变化。频率愈高,则相速度愈小,等效介电常数愈大,特性阻抗愈低。,但当频率f低于某一个临界值f0时,微带线的色散可以不予考虑,其临界频率f0的近似值
9、为,(339),(二)微带尺寸设计考虑 当工作频率提高时,微带线中除了传输TEM模以外,还会出现高次模。据分析,当微带线的尺寸w和h给定时,最短工作波长只要满足,(3310),就可保证微带线中只传输TEM模。,34 耦合带状线和耦合微带线,当两对传输线互相靠近时,彼此会产生电磁耦合,这种传输线称为耦合传输线,如图341所示,其中图(a)为耦合带状线,图(b)为耦合微带线。,图 341,对于耦合传输线的分析,由于边界条件比较复杂,采用场解法比较麻烦,通常采用奇偶模参量法进行分析,即采用如图342所示的叠加原理进行分析。,图 342,令A和B分别与地构成两对传输线,其激励电压分别为U1和U2,如图
10、(a)所示,将它分解成一对等幅反相的奇模电压和一对等幅同相的偶模电压,分别如图(b)和(c)所示。即,(341),(342),在一般情况下,U2=0,故,耦合带状线和耦合微带线在奇、偶模激励情况下的电场分布如图343和图344所示。其中图(a)为奇模激励下的奇模场型,其对称面为电壁;图(b)为偶模激励下的偶模场型,其对称面为磁壁。,图 343,图 344,由于奇、偶模的场分布不同,故单位长度上对地的奇、偶模电容不同,分别用C0o和C0e来表示。根据传输线理论很容易写出耦合带状线的奇、偶模特性阻抗分别为,(343),(344),式中vpo和vpe分别表示奇、偶模的相速度。对于耦合带状线,由于周围
11、介质是均匀的,因此奇、偶模速度相等,即,(345),奇、偶模的相波长为,(346),对于耦合微带线,由于周围介质是非均匀的,和微带线相同,我们引进奇、偶相对等效介电常数分别为reo、ree。利用准静态方法可求得相对介电常数分别为1(空气)和r(介质基片)的耦合微带线中每条导带单位长度上对地的奇、偶模电容C0o(1)、C0e(1)和C0o(r)、C0e(r),则耦合微带线的奇、偶模等效介电常数分别为,(347),(348),耦合微带线的奇、偶模相速度和相波长分别为,(349),(3410),(3411),(3412),图345和346分别表示薄带侧边耦合带状线的奇、偶模阻抗Z0o、Z0e与耦合带
12、状线尺寸s/b、w/b的列线图。图中s为耦合带状线中心导带间的间距,b为两接地板间的距离,w为中心导带的宽度。由图可根据已知的Z0o、Z0e很方便求得s/b和w/b。,图 345,图 346,图347给出了耦合微带线的奇、偶模特性阻抗Z0o、Z0e与耦合微带线尺寸w/h和s/h的关系曲线(r=9)。当已知耦合微带线的尺寸w/h、s/h及基片的相对介电常数r时,由图可很方便地求得奇、偶模特性阻抗Z0o、Z0e;反之若已知Z0o和Z0e,由图可求出w/h和s/h,但比较麻烦。图348给出了耦合微带线的奇、偶特性阻抗Z0o和Z0e与耦合微带线尺寸w/h和s/h的另一组曲线(r=10)。利用该图很方便
13、地根据已知的Z0o和Z0e求得w/h和s/h。,图 347,图 348,35 金属波导传输线的一般理论,这里首先介绍波导传输线的一般分析方法,然后分别讨论矩形波导和圆波导。直观起见,本节采用直角坐标系来分析,并假设波导是无限长的,且波是沿着z方向无衰减地传输,则有,(351),式中为波导轴向的波数,E0(x,y)和H0(x,y)分别为电场和磁场的复振幅,它仅是坐标x和y的函数。将上式代入亥姆霍兹方程 和,并在直角坐标内展开,即有,(352),式中,(353),kc表示电磁波在与传播方向相垂直的平面上的波数,如果导波沿z方向传播,则 式(352)是矢量波动方程,由于电场和磁场矢量各有三个分量,即
14、,(354),(355),由麦克斯韦方程组的两个旋度式,很易找到场的横向分量和纵向分量的关系式。具体过程从略,这里仅给出结果,(356),对于横电模(Ez=0)和横磁模(Hz=0)上式分别可以简化为,(TE模或H模),(357),(TM模或E模),(358),由上面两式可以看出,对于TE模和TM模必有kc0的条件,否则场强所有横向分量均为无限大。则由式(352)便得,(359),由此可见,TE模和TM模在与传播方向相垂直的横截面内场强分布不能满足二维拉普拉斯方程,即不可能与恒定场有相同的场分布;而对于TEM模来说场强在横截面内的分布满足二维拉普拉斯方程,即场强分布相当于某个恒定场的分布。,(3
15、510),(3511),36 矩形波导,一、矩形波导中传输模式及其场分布 由于矩形波导的四壁都是导体,根据边界条件波导中不可能传输TEM模,只能传输TE或TM模。下面采用上节所介绍的方法,分别讨论矩形波导中TE模和TM模的场分布。(一)TM模(Hz=0)假设,并代入式(352)中第 一式,即得,图 361,应用分离变量法解式(361)方程,首先令 Ez0=X(x)Y(y)(362)式中X(x)仅是x的函数,Y(y)仅是y的函数。将上式代入式(361)并整理得,(361),(363),要使上式成立,上式左边两项必等于常数,令,上面两式可改写为,(364),(365),式(364)的解为,(366
16、),将上式代入式(362),得,利用TM模的边界条件,将边界条件代入式(367),并令C2C4=E0,得,(368),式中E0决定于激励情况。纵向场分量复振幅求得后,利用式(358)很易求得场的各个横向分量的复振幅分别为,(369),(二)TE模(Ez=0)对于TE模只要解Hz的波动方程。即,(3610),采用分离变量解上式,由于上式和Ez0的波动方程相同,故Hz0的通解也和Ez0一样。即,(3611),将上述结果代入式(3611),并令C1C3=H0,得,(3612),将上式代入式(357)便得出TE模的横向分量的复振幅分别为,(3613),二、矩形波导中传输模式的纵向传输特性(一)截止特性
17、 波导中波在传输方向的波数由式(353)给出,(3614),式中k为自由空间中同频率的电磁波的波数。要使波导中存在导波,则必须为实数,即 k2k2c或c(ffc)(3615),如果上式不满足,则电磁波不能在波导内传输,称为截止。故kc称为截止波数。由前面分析知道,矩形波导中TE模和TM模的截止波数kc均为,(3616),故截止波长c和截止频率fc分别为,(3617),(3618),上面两式表明,矩形波导中TE模和TM模的截止波长c与波导尺寸a和b及传输模式有关,而截止频率fc不仅与波导尺寸和传输模式有关,而且还与矩形波导内填充的媒质特性有关。相同波导尺寸对于不同的模式有不同的截止波长c,图36
18、2给出a=2b矩形波导中截止波长的分布图。,图 362,由图可见,相同的指数m和n的TE模和TM模具有相同的截止波长,这些模式称为简并模;矩形波导中TE10模的截止波长最长,故称它为最低模式,其余模式均称为高次模。由于TE10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证单模传输。当波导尺寸给定且有a2b时,则要求电磁波的工作波长满足,(3619),当工作波长给定时,则波导尺寸必须满足,(3620),(二)相速度vp和相波长p 导行波的相速度是指某种波型的电磁波的等相位面沿着轴向传播的速度。由等相位面方程很易求得相速度为,(3621),导行波的相波长是指某种波型的等相位面在一个周期内沿轴向传播
19、的距离,又称为波导波长。其值为,(3622),(3623),将上式代入式(3621)和式(3622)便得,(3624),(3625),(三)群速度 由前面分析知道波导系统中的TE模或TM模的相速度均大于光速,它是表示等相位面传播的速度,并不表示能量的传输速度。代表能量的传播的速度是能速vg,又称为群速度。按群速度的定义,(3626),上式等号两边对微分即得,(3627),若波导系统内填充的媒质为空气,则,(3628),式中v0为光速,表明群速度小于光速。将式(3624)和式(3627)相乘,则有,(3629),图 363,(四)波阻抗 式(3510)和式(3511)分别给出了TE模和TM模的波
20、阻抗计算公式。即,(3630),(3631),对于TE10模,将c=2a代入式(3630),便得TE10模的波阻抗为,(3632),对于处理这类问题,必须引入波导的等效阻抗的概念。TE10模等效阻抗的计算公式为,(3633),三、矩形波导中传输模式的场结构 场结构图是指用电力线(实线)和磁力线(虚线)的疏密分别来表示电场和磁场的强弱的分布图。不同模式有不同的场结构图。下面分别讨论矩形波导中TE模和TM模的场结构图,着重讨论TE10模的场结构。(一)TE模 对于TE模,由于Ez=0,Hz0,因此电场一定分布在矩形波导的横截面内,而磁场在空间自成闭合曲线。,TE模中TE10模的场结构最简单,而且通
21、过对它的场结构的讨论,可以掌握其它模式场结构分布的一般规律。因此我们着重讨论TE10模场结构图。在讨论时,首先导出TE10模的场分布数学表达式,然后根据表达式分别讨论电场和磁场的分布图,最后把两者结合在一起即可得到TE10模的场结构图。只要令式(3613)中m=1和n=0,并乘以相位因子e-jz便可得到TE10模场分布表达式,(3634),由上式可以看出,TE10模只有Ey、Hx和Hz三个场分量,而且它们在z方向均为行波分布,且以速度vp=/向正z方向传播。,由式(3634)可知,TE10模的电场只有Ey一个分量,其振幅正比于sin(x/a),而与y无关,即Ey分量振幅沿x方向呈正弦分布,沿y
22、方向无变化。若用电力线的疏密表示Ey的强弱,则在宽壁中央电力线最密,向两边逐渐稀疏;由于Ey分量表达式中带有负号,因此电力线指向-y方向;Ey表达式中有行波因子e-jz,故沿z方向是行波分布。因此在某一个瞬间电场Ey分布图如图364所示。,图 364,图 365,将电场分布的结构图与磁场分布的结构图结合在一起,并考虑Ey、Hx及Hz之间的相位关系,即可得到TE10模完整的场结构图,如图366所示。由图可见,场的各个分量沿宽边a只变化一次,即有一个半驻波分布,是沿窄边b均匀分布,这是因为m=1及n=0的缘故,故m表示场分布沿波导宽边方向的半驻波个数,n表示场分布沿波导窄边方向的半驻波个数。可见T
23、E20、TE30、,TEm0等模式的场分布沿波导宽边a分别有2个,3个,m个TE10模的场结构的基本单元;而沿窄边b场分布为均匀分布,图367(a)和(b)分别表示TE20模和TE30模在横截面上的场结构图。,图 366,图 367,TE01模的场分布沿着宽边a没有变化,而沿着波导窄边b只有一个半驻波分布,即只要将TE10模的场结构图的极化面向波导的轴向旋转90,即可得到TE01模的场结构图,如图368所示。同理TE02模、TE03模、,TE0n模的场分布沿波导宽壁a无变化,而沿窄壁b分别有2个、3个、,n个TE01模的场结构基本单元。图369(a)和(b)分别表示TE02和TE03模的场结构
24、图。,图 368,图 369,TE11模的场结构的场分布沿着波导宽壁和窄壁都有一个半驻波分布,而且电力线一定分别垂直于波导的宽壁和窄壁,如图3410(a)所示。同理TEmn模的场分布沿宽壁a和窄壁b分别有m个和n个TE11模场结构图的基本单元。图3610(b)表示了TE21模在波导横截面崐内的场结构图。由此可见,只要掌握TE10、TE01和TE11模的场结构图,则所有TEmn模的场结构就完全了解了。,(二)TM模 对于TM模,由于Hx=0,Ex0,则磁力线一定在横截面内自成闭合曲线。其最低模式为TM11模,它的场分布沿波导的宽壁a和窄壁b都有一个半驻波分布,即磁场在横截面内只有一组闭合曲线。图
25、3611(a)表示TM11模在横截面内的场结构图。同理TMmn的场分布沿波导宽壁a和窄壁b分别有m个和n个TM11模场结构的基本单元。图3611(b)表示TM21模在波导模截面内的场结构图。只要掌握TM11模的场结构图,所有TMmn模的场结构图就全部了解了。,图 3610,图 3611,从前面给出的场结构图可以看出,波导内的场结构图必须遵守下列规则:波导壁上只有电场的法向分量和磁场的切向分量;电力线和磁力线一定相互垂直;磁力线一定是闭合曲线;电力线和磁力线的方向和波的传播方向一定满足右手螺旋法则。,四、矩形波导中传输模式的管壁电流;当波导内传输电磁波时,波导壁上将会感应高频电流。这种电流称为管
26、壁电流。由于假定波导壁是由理想导体构成,故管壁电流只存在于波导的内表面上。;管壁电流是由管壁上磁场的切线分量产生的,它们之间的关系式为 Jl=nHt(3635)式中n为波导内壁的法向分量,Ht为波导壁上的切向磁场,如图3612(a)所示。,图 3612,下面我们以矩形波导中TE10模为例,讨论它的管壁电流分布。根据式(3634)和(3635)可以得到各个壁上的电流分布为:(1)在x=0及0yb的窄壁上,因Ht=axH0,则有 Jl=nHt=axaxH0=-ayH0(3636),即表示在此窄壁上管壁电流只有y分量,且与正y方向相反。由于z方向为行波,因此任何时刻所有壁电流沿z方向均呈正弦发布。(
27、2)在x=a及0yb的窄壁上,由于壁上切向磁场及壁的单位法向矢量与x=0窄壁上相反,故两窄壁上壁电流相同。(3)在y=0及0 xa的宽壁上,因,(3637),即表示在波导的下宽壁上,既有x方向的壁电流,又有z方向的电流。而且z方向的壁电流最大值比x方向壁电流的最大值超前/2。(4)在y=b及0 xa的宽壁上,因壁上的磁场分布与y=0宽壁上相同,而单位法向矢量方向相反,因此两宽壁上的壁电流分布形状相同,方向相反。,综上所述,矩形波导中TE10模的壁电流分布如图3612(b)所示。由图明显可以看出,在宽壁上管壁电流有中断现象,似乎电流不连续。实际上除了波导壁上有壁电流以外,在波导内还存在位移电流。
28、位移电流与电场的关系为,即位移电流分布与电场分布相似,仅是时间相位上位移电流超前电场/2,因此只要把电场图形向z方向移动p/4,便得到位移电流分布图。可见在宽壁上的壁电流和空间的位移电流相连接构成全电流。,图 3613,五、矩形波导中传输功率和功率容量;(一)传输功率;在行波状态下,传输的平均功率可由波导横截面上的坡印亭矢量的积分求得,即,(3638),当传输TE10模时,Ex=0,(3639),若波导中填充空气介质,则,(3640),将上式代入式(3637),则有,(3641),(二)功率容量;将式(3641)中E0用波导内媒质的击穿电场强度Ebr来代替(对于空气媒质Ebr=30kV/m),
29、便得到行波状态下波导传输TE10模的功率容量Pbr,即,(3642),图 3614,上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的,实际传输线上总有反射波。在行驻波状态下,矩形波导传输TE10模的功率容量为,(3643),六、矩形波导尺寸的设计考虑;波导尺寸的设计是指根据给定的工作波长来确定波导横截面尺寸。设计波导尺寸的原则是:保证在工作频带内只传输一种模式;损耗尽量小;功率容量尽可能大;尺寸尽可能小;制造尽可能简单。由前面分析知道,保证单模传输的条件为,(3644),图 3615,37 圆波导,波导截面为圆形的波导称为圆波导。它具有损耗较小和双极化的特性,常用于天线馈线中,也可作较远距离的传输线
30、,并广泛用作微波谐振腔。,圆波导的分析方法与矩形波导相似。首先求解纵向场分量Ez(或Hz)的波动方程,求出Ez(或Hz)的通解,并根据边界条件求出它的特解,然后利用横向场与纵向场的关系式,求得所有场分量的表达式,最后根据表达式讨论它的截止特性、传输特性和场结构。,由于波导横截面为圆形,故采用圆柱坐标系来分析比较方便。如图371所示。利用圆柱坐标系内两个旋度式子可以导出圆波导内场强的横向分量与纵向分量的关系式为,(371),一、圆波导中的场分布;采用与矩形波导相类似的分析方法,分别求出圆波导中TM模与TE模的场分布。同样圆波导中可能存在无穷多个模式,分别用TMmn模和TEmn模表示。其中下标m=
31、0,1,2,表示场沿半圆周方向的半驻波数;下标n=1,2,表示场沿半径方向的半驻波数。根据场分布和边界条件,可分别求出TM模和TE模的截止波长c与圆波导半径R的关系式。表371列出了几种TM模与TE模的c值。,表371 圆波导中几种模式的截止波长c值,图 372,圆波导中TM模和TE模的波阻抗、相速度、相波长和能速度的计算公式分别与矩形波导相应公式相似,唯一的不同是截止波长c的计算公式不同。圆波导中截止波长c的计算公式为,(TE模),(TM模),(373),二、圆波导中三个主要模式;圆波导中有无限多个模式存在,最常用的三个主要模式为TE11、TE01和TM01模。下面分别介绍这三种模式的特点和
32、它的应用。(一)TE11模(c=341R)TE11模的场结构图如图373所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布;图(b)为纵截面上的电场分布;图(c)为波导壁上的壁电流分布。,图 373,(二)TE01模(c=1.64R)TE01模的场结构如图374所示。其中图(a)为横截面上的电磁场分布,图(b)为纵截面上电磁场分布,图(c)为壁电流的分布。,图 374,(三)TM01模(c=2.62R)TM01模的场结构图如图375所示。由图可见,磁场只有H分量,是具有轴对称分布的圆磁场;电场有Ex分量,是在r=0处Ez最大;壁电流只有纵向分量Jz。因此适用于作微波天线馈线旋转铰链的工作模式。由于它具有Ez分量,便于和电子交换能量,可作电子直线加速器中的工作模式。但由于它的管壁电流具有纵向电流,故必须采用抗流结构的连接方式。,图 375,
