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1、第十七章抽象与概括,第一节 抽象概述与过程,1、抽象概述 抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一方面特征与其他特征分别开来给予单独考虑的，当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等思维形式来固定这种“单独考察”的结果。实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是事物的多 种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一些性质的思维活动。,抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认识也具有十分重要的意义。在数学中，抽象可以用于“抽象的产物”、“抽象的过程”和“抽象的方法”等几个意义。当
2、我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着现实世界时，所指的就是抽象的产物、思维结果的抽象；当我们说由具体的量“抽象”出自然数的概念，由种种距离的测定中抽象出测度的概念时，所指的就是作为过程和方法的抽象。,2、抽象过程 从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过综合得出简单的、基本的规定，这就是合理的抽象。分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分事物的本质属性和非本质属性。在抽象过程中，分析、比较和综合相互作用、相互渗透，抽象的具体过程也干差万别，但都包括如下基本过程：分离、提纯、简略。,分离，就是暂时不考虑研究对象与其他各个
3、对象之间的种种联系。分离本身就是一种抽象，这是抽象的第一步。【例】研究某事物的数学现象，就撇开其物理、化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体现象中抽取出来。提纯，就是在思维中排除那些模糊的基本过程以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象的性质和规律进行考察。这是抽象过程中最关键的一步。简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研究结果的一种简化表达方式。简略也是一种抽象，而且是抽象过程的一个必要环节。,【例】平行线概念的形成，观察“黑板相对的两边”、“笔直的两条铁轨”等事物，撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同的设置、不同的长短等属性，通过分离，把黑板两边的关系和两条铁轨的关系抽取出来，
4、提纯得到“在同一平面内永不相交”这一本质属性，简略得到上面的简化表达方式后，最后定性定量地抽象表述为“在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线”。,在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行：规则l：只有对具有确定联系的对象，或使分析有意义的对象才能进行比较。【例】实数与复数在性质上具有确定的联系，可以进行比较；三角形的边长和函数的可导性之间就没有确定的联系，不能进行比较。规则2；比较应在同一标准下进行。要比较什么由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标准。【例】三角形可以比较它的边，也可以比较它的角，也可以同时比较它的边和角，但不能将一个边和一个角来进行比较。,规则3：比较应能按一定的程序进行并
5、在有限步内得出结果。这一规则保证“比较”能够“有效”的进行。【例】自然数“大小”的比较就是符合这条规则的，它可按下述程序进行：位数不同的，位数较多的自然数较大；位数相同的，先比较最高位的数，若不等，则大小已判明；若相等，再比较下一位的数是否相等，等等；因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个比较能在有限步内得出结果。,规则4：对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要进行完全比较。【例】对自然数能否被其他数整除作比较，可以发现，有的自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除，有的有两个以上小于其本身的、除1以外的因数。如果不比较l，那么这个比较就是不完全的。通过合乎规则的比较，
6、就可以进一步对对象进行分析，根据对象的共同点和不同点把对象分为不同的类。通过上例，我们可以进一步把自然数分为：1、质数和合数三类。,第二节 数学抽象的特征,数学抽象有以下特征：数学抽象具有无物质性 数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。数学抽象具有层次性 数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。,【例】自然数概念是从客观事物中抽象出来的，字母a表示的数是在对数的抽象后的结果。如a=bq，(a，b，qz)就是对许多具体的整数的整除性的抽象的结果。如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的数的抽象就是二级抽象，进而还有三级、四级抽
7、象，等等。数学抽象过程要凭借分析或直觉。在数学抽象中，表现为分析型抽象的一般模式为:,对象,分离提纯简略,概念,分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征从事物的所有属性中分离出来；提纯就是把分离出来的本质特征加以提炼，即把其中的非本质属性排除出去；简略就是把提纯出来的事物本质特征加以简化，把那些多余的属性省去。直觉型抽象，就是不通过分析过程或逻辑思维过程而一下子抓住事物的本质特征的一种抽象过程。,【例】圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通过直觉去把握它的一种数学概念。对它的抽象要借助于直觉。但直觉并非一定正确，直觉只是发现的一种工具。只有经过证明的概念才是正确的。【例】圆锥曲线的切线并
8、非一定是与曲线只有一个交点的直线，有时与曲线只有一个交点的直线是割线而非切线。,在教学中，抽象的具体形式，按其内容特点来划分，大致分为两大类。表征性抽象 表征性抽象是在纯粹的理想的形态下，以可观察的事物现象的特征作为起点的一种抽象，数学中大多数概念就是表征性抽象的结果。【例】分数概念的形成。讲述分数的意义时，往往通过演示教具和操作工具，让学生把一个圆，一个正方形，八根彩色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；然后撇开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等分的份数以及所取的几份。,第三节 抽象类型,多次操作后，结合直观图示得出：“把单位1(可以是一个物体，也可以是几个同类的
9、物体)平均分成几份，表示其中的一份或几份的数，叫做分数”。然后再介绍分数的表示方法及分数各部分的名称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它们表示的意义。这样，通过动作思维建立表象抽象思维具体实例，分数的概念在学生头脑中就初步形成了。,原理性抽象 原理性抽象是在表征性抽象的基础上形成的更高一个层次上的抽象。原理性抽象已超出一般感性认识的范围，它把握事物的因果关系及规律性的联系。这种抽象的结果则是性质、定理、原理等。【例】同分母加法法则的归纳。第一步，由观察图形的合并，抽象为分数的加法运算。在这里摆脱了图形是圆或长方形等非本质特征，抽取出表示整体与部分的关系的数，并把“合并”转化为加法运算，从图
10、示中理解同分母加法的运算意义。,+,=,+,=,+,=,+,=,这里舍弃两个加法算式中具体的数量不相同的非本质特征，抽出它们共同的本质特征每道算式的分母相同，以及分数的单位相同，所以分母不变，分子直接相加。由此将上面的运算抽象概括为数学语言：“同分母分数相加，把分子相加，分母不变”。,第二步，观察思考两道算式的共同特征是什么?,第三步，运用法则，开展演绎。考虑到提供抽象材料的完整性，再组织计算：,-约分,-约分，化为整数,-约分，化为带分数,然后进一步抽象出：“计算结果后，能约分的要约分，是假分数的要化成带分数或整数。”最后综合为完整的数学结论：同分母分数相加，分子相加，分母不变，应注意结果，
11、能约分的要约分，是假分数的要化成带分数或整数。,第四节 概括概述与过程,1、概括概述概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。与抽象一样，概括这一概念也是既作为一种思维过程又可以作为这种思维过程所得到的结果来理解的。,当我们说从个别事物的本质属性概括出同类事物的共同本质属性时，所用的就是“思维过程”的含义；当我们说数学概念是对客观世界的某一领域的性质的高度概括时，所用的就是“思维结果”的意义。2、概括过程概括通常可分为经验概括和理沦概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识
12、由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。,理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种 的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、分析和扩张等几个主要环节。比较和分析的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和分析要得到的是某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较分析得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。,【例】概括自然数求和公式。由计算知：,通过对以上9个算式的比较、区分可得出一个共同点：连续若干个从1开始的自然数的
13、和，等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。,把这个共同点推广到所有的自然数，则有：,在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。为此，就要进行分析。分析实际上是一个演绎证明的过程，必须证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。,3、概括与抽象的关系概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而提纯固定出其固有的另一些属性的思维过程。抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。【例】我们从现实存在的事物中抽象出“重量”概念来，它与原来的“物体”并无种属关系。,概括是在思维中由认识个别事
14、物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。【例】在数学中可由平行四边形、菱形等图形概念概括出“四边形”概念，它是前几个概念的属概念，还可以进一步由四边形、三角形等概念概括出“凸多边形”的概念，它又是四边形、三角形等概念的属概念。,概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“提纯”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“提纯”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象
15、过程。科学概念通常是抽象和概括共同采用的结果。,一般说来，概括的范围越广泛，得到的概念的内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普遍，实际反映的性质就越少。因而从抽象的角度来看，其抽象程度也就越高；而概括范围较狭窄的概念，也就是比较具体的概念。反之，抽象程度越高的概念，其提纯的规范性就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其概括的范围就越大；而较具体的概念，由于它反映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越少，其概括的范围也就越小。由于抽象和概括是密切联系的两种方法。因此，人们常将抽象方法和概括方法统称为抽象概括方法。,第五节 抽象与概括应用举例,1、抽象分析方法及数学模型的基本思想抽象本身就
16、是分析的特殊形式。在数学中，我们常用抽象加分析构成的抽象分析方法，把实际问题转化成数学模型。数学模型是指将一类事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系从数量上加以描述，使人们能更深刻、更准确地认识其数量关系，把握它的结构特征。数学模型的含义，从广义上讲，一切数学概念、数学公式、方程式、函数关系、数学理论体系，以及由公式系列构成的算法系统，都可称为数学模型，它们都是从各种相应的现实原型中抽象出来的。,【例】自然数集是用以描述离散型数量的数学模型；函数y=kx(k0)是一类具有正比例关系应用题的数学模型。按狭义的解释，数学模型指反映特定的问题或特定的数学关系的结构。【例】和差、和倍问题、求平均
17、数或行程问题、按比例分配问题、鸡兔同笼问题、一笔画成、勾股数等等，都叫做数学模型。,把数学材料抽象概括成一定的关系和模式，可以使解题时，通过识别关系和模式，迅速找到解题途径，从而使思维简化、推理过程缩短。这种将数学材料形式化、结构化的过程，也就是抽象概括的过程。2、实际问题转化为数学模型 解答应用题的实质，是先把实际问题转化为数学模型，再研究数学模型中的数量关系，找到解题途径，最后得到问题的解答。整个过程经过两次抽象：实际问题数量关系的问题数学表达式。,【例】路线问题。下图表示一幅道路交通图，从A点的家里到B点的轮渡码头，不准绕道，只能向前，不能向后，只能向右，不能向左。问有几条路可走?,【分
18、析】这是一个实际问题，由于道路较多，难于逐条道路计数，。但我们可以将问题符号化、图形化，以便进行抽象分析，寻找规律。【思路一】把路线数字化。在各路口交叉处标上数码，并进行分析、统计：,第一条路线：1、2、3、4、8、12、16；第二条路线：1、2、3、7、8、12、16；第三条路线：1、2、3、7、11、12、16；,把问题数字化后，比较清楚，得到明显的解题模型为：数字变化只能增加，不可减少。但由于数字较多规则不明显，难以进行统计。【思路二】把路线图形化。把行进路线用一种直观的图形符号显示出来。例如向前行进一段用“”表示，向右行进一段用“”表示，于是，思路一,中的各条路线抽象成为如下形式：第一
19、条路线：；第二条路线：；第三条路线：；,于是路线的规律十分明显：从图形上看出，每条路线都有三个“”和三个“”，只要把三个“”和三个“”进行不同的排列，就是不同的路线。从而，计算两组六个符号的排列数：由于只要确定了三个“”的位置，另三个“”的,位置也同时确定了。可知，共有可走路线数,【例】甲、乙两个化肥厂共生产90万吨化肥，已知甲厂产量的2/5等于乙厂产量的1/2，求两厂各生产多少化肥?(列方程求解)【解】设甲厂产量为x万吨，则乙厂产量为90 x万吨，把反映等量关系的语言“甲厂产量的2/5等于乙厂产量的1/2”译成方程，得,解之得x=50(万吨)。,数学中列方程解应用题的实质，就是使用抽象分析法
20、，先是分析条件与问题，然后就是抽象，将未知量转化为字母x，接着进一步分析题中的数量关系，进行一次原理性抽象，抓住数量之间的等量关系，并用数学语言表示出来，即列出方程，最后是解方程。一般地，解题难度产生于第二次抽象过程中，即分析等量关系和列出方程这两个步骤。从培养抽象分析能力的角度思考，列方程解应用题应注意以下几点：,摆脱算术解法的束缚和干扰。应注意把要求的未知数x看作已知条件，将其与原有的已知条件放在一起分析并参加列式。为掌握根据等量关系布列方程的方法，应掌握简易方程的一些最基本形式，如ax+b=c等。除注意根据题意把方程写完全的类型题外，还应注意看图列方程的类型，列方程思考过程比较直接、明快
21、，特别是一些需要逆向思考的问题，列方程求解比较容易做到。进行语言文字与方程的“互译”训练。结合解方程，多进行列方程解文字叙述题的训练。解这类题目，首先是设所求的未知数为x，再将文字叙述的数量关系按叙述的顺序翻译成方程并求出其解。,也可以进行一些把方程翻译成语言的训练，读法不拘一格，只求正确运用和、差、积、商、多、少、倍、分等术语，注意正确表达数量关系及运算顺序。注意寻找等量关系、列出方程。直接从题目叙述中寻找；借助线段图寻找；运用计算公式和联想常用数量关系寻找。,适当进行简单方程变形的练习。适当选择一些典型应用题，从不同的角度分析数量关系，列出形式不同的方程。【例】买14节5号电池，付10元，
22、找回3.28元。每节5号电池的价钱是多少?【解】设每节电池价钱x元，由题意可以按不同方式列出方程，找回3.28元：1014x=3.28；原付10元：14x+3.28=10；14节电池的价钱：14x=103.28。,3、概括方法应用(1)从实际生活中引入课题【例】乘法分配律的概括过程。实际问题：“做一张桌子需要10元，一需要5元。计算：做4套这样的桌椅，一共需要多少元?”。用不同的方法解答。【解法一】先计算一套桌椅价钱，再计算4套桌椅价钱：(10+5)4=60(元)。【解法二】先计算4张桌子价钱，再计算4把椅子价钱，最后求和：lO4+54=60(元),观察、比较两种算法，方法不同，结果相同。(1
23、0+5)4=104+54 再比较 12(9+7)与129+127 又得到 12(9+7)=129+127于是得到(a+b)c=ac+bc c(a+b)=ca+cb最后概括得乘法分配律：两数和乘以第三数，等于两数分别乘以第三数后的和。,4、培养抽象概括能力 重视研究数学概念的形成过程数学概念的形成过程，是从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级，逐步上升发展的。寻找良好的概括素材 要挖掘课本例题和习题中的思维训练因素，掌握抽象概括的时机和程度，提供良好的概括素材，以下三个方面值得探索：着眼于揭示知识的本质特征 概括是将同类事物的相同属性归结在一起，为了训练这种“异中见同”的能力，组织的教学材料要
24、具有鲜明的对比性和相对的完整性，以便于揭示知识的本质特征。,注意沟通知识间的联系 数学新旧知识的关系有两种情况：(i)新知识是旧知识的引申、发展；(ii)新旧知识是在一定条件下的同一、综合。学习中，一旦沟通了新旧知识的联系，就能促成新旧知识的转化。在这个转化过程中，可以培养起从“变中找不变，变中找规律”的概括能力。,要充分运用练习，沟通知识间的联系，要注意：(i)学会简缩数学推理过程和相应的运算过程，简缩思维过程也就是概括的结果；(ii)灵活调动已经学过的知识，突破已经形成的解题模式，通过概括解题规律，不断提高解题水平。数学问题的一题多解，反映了运用迁移方法，建立概括手段的能力。,要有利于形成
25、知识结构网络 学完一部分知识后，应及时对所学进行整理归类，使分散的知识系统化，模糊的概念变得清晰并形成逻辑联系。探索进行概括的途径 概括能力发展的顺序，是从形象概括逐步向抽象概括过渡。一般地，有以下四种方式：从不同角度、不同层次、不同范围进行观察比较，找出它们的相同点和不同点，以找共同点为主，促进概括的形成。,如果新旧知识是属于同类的，应采用迁移方法，选准新旧知识的结合，联想已学过的知识与新知识有什么相同或类似的地方，通过分析，概括出新旧知识的共同本质。如果新旧知识不属于同类的，要解决新问题，首先要揭示新旧知识的差异，分析产生差异的原因，再针对原因寻找知识间的关系加以转化。,在初步形成某一概念或掌握基本解法后，对某些容易疏忽出错的地方，或相近、相似、相反的概念，可以进行一定的判断练习，加强理解并掌握概念之间的联系与区别，从中概括出应用这些知识的注意点。,
