《数字逻辑基础》PPT课件.ppt

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1、第一节 数制与编码,第二节 逻辑代数基础,第三节 逻辑函数的标准形式,第四节 逻辑函数的化简,小结,第一章 数字逻辑基础,第一章 数字逻辑基础,本章将依次讨论数字系统中数的表示方法、常用的几种编码，然后介绍逻辑代数的基本概念和基本理论，说明逻辑函数的基本表示形式及其化简。,逻辑函数及其化简。,重点:,二进制数、,常用的几种编码、,逻辑代数基础、,教学基本要求,掌握：,1、二、八、十、十六进制，8421BCD码等基本概念,2、最基本的三种逻辑函数，利用布尔代数法化简逻辑函数,3、最小项的性质，逻辑函数的标准形式,4、利用卡诺图化简逻辑函数,熟悉：,1、补码、原码、反码、格雷码。,2、表示逻辑函数

2、的方法。由真值表或逻辑函数画波形图,3、逻辑函数的变换（“与非与非”和“与或”式的变换）。,第一节 数制与编码,数制,不同数制之间的转换,二进制正负数的表示及运算,常用的编码,第一节 数制与编码,一、数制,2 3,210,31,20,3,+,+,2 3,十位数字2,个位数字3,权值,基数：,由09十个数码组成，基数为10。,位权：,102 101 100 10-1 10-2 10-3,计数规律：,逢十进一,权值,10的幂,10-1,权 权 权 权,任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。,(652.5)D,位置计数法,按权展开式,(N)D=(Kn-1 K1 K0.K-1 K-m)D,=

3、Kn-1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m,第一节 数制与编码,=,6,102,+,5,101,+,2,100,+,5,下标D表示十进制,第一节 数制与编码,只由0、1两个数码和小数点组成，,不同数位上的数具有不同的权值2i。,基数2，逢二进一,任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。,(N)B=(Kn-1 K1 K0.K-1 K-m)B,=Kn-1 2n-1+K121+K020+K-1 2-1+K-m 2-m,下标B表示二进制,常用数制对照表,01234567,89101112131415,0000000100100011010001010110

4、0111,10001001101010111100110111101111,01234567,01234567,1011121314151617,89ABCDEF,第一节 数制与编码,二、不同数制之间的转换,二进制转换成十进制,十进制转换成二进制,二进制转换成十六进制,十六进制转换成二进制,例：(10011.101)B=(？)D,(10011.101)B124023022121120 121022123,二进制转换成十进制,利用二进制数的按权展开式，可以将任意一个二进制数转换成相应的十进制数。,（19.625）D,第一节 数制与编码,整数部分的转换,除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十

5、进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位Kn-1。,例：（29）D=（？）B,29,14,7,3,1,0,1,K0,0,K1,1,K2,1,K3,1,K4,LSB,MSB,得（29）D=（11101）B,第一节 数制与编码,小数部分的转换,乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。,例：将十进制数（0.723）D转换成不大于

6、2-6的二进制数。,不大于2-6，即要求保留到小数点后第六位。,0.723,K-1,0.446,K-2,0.892,K-3,0.784,K-4,0.568,K-5,0.136,由此得：(0.723)D=(0.101110)B,十进制,二进制,八进制、十六进制,第一节 数制与编码,0.272,K-6,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每4位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。,例：（1011101.101001）B=（?）H,(1011101.101001）B=（5D.A4）H,1011101.101001,小数

7、点为界,0,00,D,5,A,4,第一节 数制与编码,第一节 数制与编码,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每3位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。,例：（11010111.0100111）B=（?）Q,（11010111.0100111）B=（327.234）Q,11010111.0100111,小数点为界,0,00,7,2,3,2,3,4,每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数,011,001,.,100,111,011,111,101,.,110,100,每位 16 进制数换为相应的 4 位二进制数,

8、补码分为两种：基数的补码和降基数的补码。,前面介绍的十进制和二进制数都属于原码。,各种数制都有原码和补码之分。,第一节 数制与编码,三、二进制正负数的表示及运算,n是二进制数N整数部分的位数。,二进制数N 的基数的补码又称为2的补码，常简称为补码，其定义为,例：,1010补=24-1010=10000-1010=0110,1010.101补=24-1010.101=10000.000-1010.101=0101.011,1010.101反=(24-2-3)-1010.101=0101.010,n是二进制数N整数部分的位数，m是N的小数部分的位数。,第一节 数制与编码,例：,1010反=(24-

9、20)-1010=1111-1010=0101,二进制数N的降基数补码又称为1的补码，习惯上称为反码，其定义为,N反=01001001,第一节 数制与编码,例：,N=10110110,根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有效位加1得到。,N补=,无论是补码还是反码，按定义再求补或求反一次，将还原为原码。,01001001+00000001,01001010,01001010,即N补=N反+1,即N补补=N原,第一节 数制与编码,例：,(+43)D,二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示方法。对于正数而言，三种表示法都是一样的，即符号位为0，随后是二进制数的绝对值，也就是原码。,符号位

10、,绝对值,二进制负数的原码、反码和补码,=0,0101011,例：,-25原=1 0011001,-25反=1 1100110,-25补=1 1100111,符号位“1”加原码,符号位“1”加反码,符号位“1”加补码,补码运算：,X1反+X2反=X1+X2反,符号位参加运算,X1补+X2补=X1+X2补,符号位参加运算,在数字电路中，用原码求两个正数M和N的减法运算电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的减法运算变成反码或补码的加法运算，易于电路实现。,反码运算：,第一节 数制与编码,例：X1=0001000，X2=-0000011，求X1+X2,解：X1反+X2反=X1+X2反,X1

11、反=0 0001000,X2反=1 1111100,1 0 0000100,+）1,X1反+X2反=0 0000101,反码在进行算术运算时不需判断两数符号位是否相同。,当符号位有进位时需循环进位，即把符号位进位加到和的最低位。,故得X1+X2=+0000101,例：X1=-0001000，X2=0001011，求X1+X2,解：X1补+X2补=X1+X2补,X1补=1 1111000,X2补=0 0001011,1 0 0000011,X1补+X2补=0 0000011,符号位参加运算。不过不需循环进位，如有进位，自动丢弃。,故得 X1+X2=+0000011,自动丢弃,第一节 数制与编码,

12、四、常用的编码,（一）二十进制码（BCD码）,有权码,8421BCD码,用四位自然二进制码的16种组合中的前10种，来表示十进制数09，由高位到低位的权值为23、22、21、20，即为8、4、2、1，由此得名。,用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。,此外，有权的BCD码还有2421BCD码和5421BCD码等。,无权码,余三码是一种常用的无权BCD码。,常用的BCD码,二十进制码格雷码校验码 字符编码,四、常用的编码：,2.编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。,1.任意两组相邻码之间只有一位不同。,第一节 数制与编码,注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特

13、点，故它可称为循环码。,最常用的误差检验码是奇偶校验码，它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元。,（四）字符编码,ASCII码:七位代码表示128个字符 96个为图形字符 控制字符32个,（三）校验码,第二节 逻辑代数基础,逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的运算公式和规则,（一）逻辑变量,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。,（二）基本逻辑运算,逻辑与,逻辑或,逻辑非,第二节 逻辑代数基础,一、逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑表达式F=AB=AB,与逻辑真值表,与逻辑关系表,逻辑与,开关A,开关B,灯F,断 断断 合

14、合 断,合 合,灭灭灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,第二节 逻辑代数基础,只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。,或逻辑真值表,或逻辑关系表,逻辑或,开关A,开关B,灯F,断 断,断 合合 断合 合,亮亮亮,灭,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,第二节 逻辑代数基础,决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。,逻辑表达式F=A+B,1,非逻辑真值表,非逻辑关系表,逻辑非,开关A,灯F,A,F,第二节 逻辑代数基础,当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,逻辑表达式 F=A,与非逻辑运算

15、,F1=AB,或非逻辑运算,F2=A+B,与或非逻辑运算,F3=AB+CD,（三）复合逻辑运算,第二节 逻辑代数基础,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,=1,第二节 逻辑代数基础,异或运算,同或运算,第二节 逻辑代数基础,二、逻辑函数及其表示方法,用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A、B、C等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。,F(A，B)=A+B,输出变量,逻辑函数的表示方法：,逻辑图,逻辑表达式,波形图,真值表,输入变量,例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。,F,0,0,1,0,1,1,1,

16、0,三个人意见分别用逻辑变量A、B、C表示,表决结果用逻辑变量F表示,同意为逻辑1，不同意为逻辑0。,表决通过为逻辑1，不通过为逻辑0。,1.真值表,2.逻辑函数表达式,找出函数值为1的项。,每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。,这些乘积项作逻辑加。,第二节 逻辑代数基础,乘积项用与门实现和项用或门实现,F,A+0=A A+1=1,A0=0 A1=A,A A=A A+A=A,A B=B A,A+B=B+A,(AB)C=A(BC),(A+B)+C=A+(B+C),A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),0-1律,互补律,重叠律,交换律,结合律,分配律,第二节

17、逻辑代数基础,三、逻辑代数的运算公式和规则,反演律,还原律,吸收律,A+A B=A A(A+B)=A,第二节 逻辑代数基础,三、逻辑代数的运算公式和规则,互补律,重叠律,第二节 逻辑代数基础,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,由真值表得,第二节 逻辑代数基础,证：利用真值表,1110,1110,1000,1000,逻辑代数的运算公式和规则,三个基本运算规则,任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。,例：,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,基本运算规则,对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：,

18、若把式中的运算符“”换成“+”,“+”换成“”；,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；,原变量换成反变量，反变量换成原变量，,那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。,例：,其反函数为,保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号。,基本运算规则,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；,2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”。,得到的新函数为原函数F的对偶式F，也称对偶函数。,对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若F1=F2 则F1=F2。使公式的数目增加一倍。,求对偶式时运算顺序不变，且它只变

19、换运算符和常量，其变量是不变的。,注意：,函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”，“”换成“”。,其对偶式,例：,注意！,无论是对偶规则还是反演规则，对于不属于单个变量上的反号不能动！,例如：,(1),(2),第三节 逻辑函数的标准形式,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,五种常用表达式,F(A，B，C),“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式,表达式形式转换,函数表达式的常用形式,基本形式,例如函数,吸收率,还原率,反演率,4.或-与表达式转换为与-或-非表达式,逻辑函数的标准形式,n个变量有2n个最小项，记作mi。,3个

20、变量有23（8）个最小项。,m0,m1,000,001,0,1,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,一、最小项,最小项,二进制数,十进制数,编号,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：,同一组变量取值：任意两个不同最小项的乘积为0，即mimj=0(ij)。,全部最小项之和为1，即,逻辑函数的标准形式,解：,逻辑函数的标准形式,例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。,从真值表找出F为1的对应最小项。,解:,然后将这些项

21、逻辑加。,F(A,B,C),函数的最小项表达式是唯一的。,第四节 逻辑函数的简化,代数法化简逻辑函数,图解法化简逻辑函数,具有无关项的逻辑函数化简,逻辑电路所用门的数量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,第四节 逻辑函数的化简,与项最少，即表达式中“+”号最少。,每个与项中变量数最少，即表达式中“”号最少。,与门的输入端个数少,吸收：利用 A+AB=A消去多余的与项。,第四节 逻辑函数的化简,一、代数法化简逻辑函数,代数法化简函数,例：化简逻辑函数,解：,=A,反演律,并项法,例：化简逻辑函数,(C+D),1,图形法化简函数,卡诺图（K图）,A,B,AB,A

22、,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,（1）n个逻辑变量的函数，卡诺图有2n个方格，对应2n个最小项。,（2）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。,（3）相邻有邻接和对称两种情况。,特点：,1.已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0

23、。,2.若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,3.函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,图形法化简函数,用卡诺图表示逻辑函数,例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示该逻辑函数。,1,1,1,1,例：用卡诺图表示该逻辑函数,1,1,1,1,逻辑相邻：两个最小项只有一项不同,几何相邻：卡诺图中两个最小项位置相邻,几何相邻一定逻辑相邻,几何相邻,卡诺图中的逻辑相邻和几何相邻,逻辑相邻不一定几何相邻,几何不相邻,逻辑相邻,5.卡诺图上的有用组合（用卡诺图化简逻辑函数）,（1）二方格相邻（逻辑相邻）组合,任何一对相邻最小项可以组合

24、为比原最小项本身少一个变量的单项(消去互为反变量的因子，保留公因子)。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,图形法化简函数,几何相邻的2i（i=1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。,卡诺图合并最小项原则：,（1）圈要尽可能大，每个圈包含2n个相邻项。,（2）圈的个数要少，使化简后逻辑函数的与项最少。,（3）所有含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。,（4）圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。,图形法化简函数,与

25、或表达式的简化,由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺图。,合并相邻的最小项，注意将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。,按取同去异原则,每个圈写出一个与项。,最后将全部与项进行逻辑或，即得最简与或表达式。,例：用卡诺图化简逻辑函数,化简得,图形法化简函数,【例19】将下面的逻辑函数用卡诺图表示并简化,AB,CD,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,如果逻辑函数不是最小项的形式，也不必用代数法将其展开成最小项的形式，可直接将各项直接填入卡诺图中。,例：用卡诺图化简逻辑函数,1,1,说明一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。,图形法化简函

26、数,具有无关项逻辑函数的化简,图形法化简函数,约束项：,任意项：,输出的结果是任意的。,不允许输入变量的取值组合出现。,常用符号“”、“d”或“”表示。,例如红绿交通灯信号,红灯A,绿灯B,车F,0 0,0 11 0,10,可行可停,1 1,不允许,任意项,约束项,利用无关项化简逻辑函数,(1)填函数的卡诺图时，在无关项对应的格内填任意符号“”、“d”或“”。,处理方法：,(2)化简时可根据需要，把无关项视为“1”也可视为“0”，使函数得到最简。,约束项和任意项统称无关项。,例：用卡诺图将逻辑函数F化为最简与或表达式。,化简得,无关项可0可1，以使函数最简。,图形法化简函数,几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制以及相互间的转换。,码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的BCD码。,任意一个R进制数按权展开：,带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码、反码和补码。,逻辑问题的描述可用真值表、函数式、电路图、卡诺图和时序图。,分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数,自我检测：题1.1，题1.2（1）（3）习题：1.2（3），1.4（4），1.5（3）,1.8（a），1.10（4）,1.12（1），1.13（2），1.16（3）写出其最简与或表达式 1.17（1）写出其最简与或表达式,作 业,