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1、电子技术Part II 数字电子技术,概 述,模拟信号是指时间上和幅度上均为连续取值的物理量。在自然环境下，大多数物理信号都是模拟量。如温度是一个模拟量，某一天的温度在不同时间的变化情况就是一条光滑、连续的曲线：,1.模拟信号与数字信号,数字信号是指时间上和幅度上均为离散取值的物理量。可以把模拟信号变成数字信号，其方法是对模拟信号进行采样，并用数字代码表示后的信号即为数字信号。用逻辑1和0表示的数字信号波形如下图所示：,2 数字电路的特点,数字电路的结构是以二值数字逻辑为基础的，其中的工作信号是离散的数字信号。电路中的电子器件工作于开关状态。数字电路分析的重点已不是其输入、输出间波形的数值关系
2、，而是输入、输出序列间的逻辑关系。所采用的分析工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是功能表、真值表、逻辑表达式、布尔函数以及波形图。数字系统一般容易设计。信息的处理、存储和传输能力更强。数字系统的精确度及精度容易保存一致。数字电路抗干扰能力强。数字电路容易制造在IC芯片上。,第1章 数字逻辑基础,1.1 逻辑代数1.2 逻辑函数及其表示方法1.3 逻辑函数的化简,1.1逻辑代数,特定功能,逻辑（A&Y）：事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。,逻辑事件(A、Y)：有且仅有两个相互对立的状态，且必定出现两个状态中的一个。,逻辑控制（AY）：A Y，YA。,开关与灯,逻辑真值表:把逻辑变量
3、所有可能的取值组合及其对应的结果列成一种表格.简称为真值表,Y,1.1.1 逻辑代数中的逻辑运算（逻辑函数）,最基本的逻辑运算:与、或、非,也称为逻辑乘、逻辑加和逻辑求反,复合逻辑运算：与非、或非、与或非、同或和异或,1.与运算,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达式,Y=AB,表示的逻辑关系：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。,Y,2.或运算,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达式,Y=A+B,表示的逻辑关系：在决定事物结果的诸条件中只要任何一个满足，结果才发生。,Y,3.非运算,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达
4、式,(“1”真，”0”假),表示的逻辑关系：只要条件具备了，结果便不会发生，而条件不具备时，结果一定发生。,Y,Y,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,4.与非运算,与,非,与非,Y,Y,Y,5.或非运算,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,非,或,或非,Y,Y,Y,6.与或非只有AB或者CD同时具备时,结果才不会发生,6.异或运算,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,7.同或,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,Y=AB,异或取非是什么？,AB,AB=,多变量的函数表达式,与 Y=ABC,或 Y=A+B+C,与非,或非,与或非,等 等,运算的优
5、先级别,括号非运算与运算或运算,逻辑变量与逻辑函数,逻辑变量：字母A、B、Y逻辑函数：表达式Y=A+B,Y=A+B,Y,1.1.2 逻辑代数的公式,1公理和基本定律 逻辑代数的公理有：,（1）,（2）,（3）10=01=0；1+0=0+1=1,（4）00=0；1+1=1,（5）如果A0 则A=1；如果A1 则A=0。,逻辑代数的基本定律有：,（1）交换律 AB=BA；A+B=B+A,（2）结合律 A（BC）=（AB）C；A+（B+C）=（A+B）+C,（3）分配律 A（B+C）=AB+AC；A+BC=（A+B）（A+C）,（4）0 1 律 1A=A；A+0=A 0A=0；A+1=1,（5）互补
6、律,（6）重叠律 A A=A；A+A=A,（8）反演律摩根定律,口诀：同一屋檐下，分开关系变。,（7）还原律,反演律摩根定律的证明,等式两边的真值表如表1.3所示：,利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。,2.常用公式,（1）吸收律 A+AB=A,（2）还原律,（3）冗余律,证明：,3逻辑代数的三个基本定理,（1）代入定理,例：已知 B（A+C）=BA+BC，现将A用函数（A+D）代替，证明等式仍然成立。,证：等式左边 B（A+D）+C=BA+BD+BC,B（A+C）=BA+BC,B（A+D）+C=B（A+D）+BC,等式右边 B（A+D）+BC=BA+BD+BC,(2)对偶定理,
7、例：Y=A（B+C）则对偶式 Y=A+B C,对偶规则：是指当某个恒等式成立时，则其对偶式也成立；如果两个逻辑表达式相等：Y=G，那么它们的对偶式也相等：Y=G。,Y,Y,Y=（A+0）（B1）则对偶式 Y=A 1+（B+0）,（3）反演定理,要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错。,例题：写出下列逻辑函数的反函数,1.2.,（1）吸收律,（2）冗余律,（3）反演律摩根定律,小结：,1.逻辑表达式 例如：Y=A+B，Y=AB+C+D 等。,1.2 逻辑函数及其表示方法,逻辑函数的表示方法主要有：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图。,2.真值表,
8、例题1：,两变量函数真值表,解：该函数有3个输入变量，共有23=8种输入取值组合，分别将它们代入函数表达式，并进行求解，得到相应的输出函数值。将输入、输出一一对应列出，即可得到真值表。,例2:列出函数 的真值表,提示：在列真值表时，输入变量的取值组合应按照二进制递增的 顺序排列，这样做既不容易遗漏，也不容易重复。,3.逻辑图,例3：逻辑函数 的逻辑图如下图所示。,01-2,例4：根据逻辑图写出下列逻辑函数表达式.,4.卡诺图,4.几种表示方法之间的相互转换,1)已知逻辑函数式求真值表：把输入逻辑变量所有可能的取值的组合代入对应函数式算出其函数值,例：,0 0 0,0,0 0 1,1,0 1 0
9、,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,1,0,1,1,1,1,2）已知真值表写逻辑函数式,步骤：1、找出使Y1的输入变量取值的组合；2、每个组合对应一个乘积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0的写成反变量；3、将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式,3）已知逻辑函数式画逻辑图,&,&,&,1,1,1,A,B,C,Y,4）已知逻辑图写逻辑函数式,1,1,1,1,1,A,B,Y,1.3 逻辑函数的化简,问题的提出：,x=98+2+1,x=101,0 01 1,比较1：,逻辑图、波形图、电路图、接线、硬件成本又有何差别呢？,判断与或表达式是否最简的条件是：,（1）逻辑乘积项最
10、少,即表达式中“+”号最少；（2）每个乘积项中变量最少，即表达式中“”号最少。,比较2：,Y,Y,1.3.2 逻辑函数的代数化简法,并项法,利用公式，将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：,（1）,（2）,2.吸收法,3.消项法,利用公式，消去多余的因子，例如：,利用公式，吸收掉多余的项，例如：,4.配项法,利用公式，先添上 作配项用，以便消去更多的项。例如：,1.一般先用并项法（提取公因式），看看有没有公共项。,公式法化简的原则,2.再观察有没有可用消去法的消去项。,3.最后试试配项法,例 用代数法化简逻辑函数,解：,化简前逻辑图,化简后逻辑图,Y,Y,例1.5 用公式法化简,可得,根据公
11、式,得,即,根据公式,得,即,解：根据摩根定律,利用配项法再进行化简，可得,逻辑函数的卡诺图化简法,预备知识：最小项和最小项表达式,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,记作m0,记作m1,记作m2,记作m3,记作m4,记作m5,记作m6,记作m7,0,1,2,3,4,5,6,7,每个乘积项包括三个变量，分别是A、B、C；,这八个乘积项具有以下特点：,每个变量都以原变量（A、B、C）或反变量（）的形式在每个乘积项中出现且仅出现一次。,三个变量有23个最小项，n个变量有2n个最小项。,三变量（A、B、C）表达式：,表1.7 三变量所有最小
12、项的真值表,（2）对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取1值。,最小项具有下列性质：,（1）A、B、C任意取值，每一时刻只有一个最小项取值为1，而其他最小项为0。也即：一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都为0。不同的最小项，使它的值为1 的那一组变量取值也不同。,（3）A、B、C任意取定一组值，全体最小项和为1。,逻辑函数的最小项表达式,（1）从一般表达式求最小项表达式(已知原始函数的情况下),解：,（2）由真值表求最小项表达式(不知函数表达式，但知真值表的情况下),例1.7 一个三变量逻
13、辑函数的真值表如表1-8所示，写出其最小项表达式。,表1-8,解：由表可写出其最小项表达式为,或写成,2.卡诺图,以二变量为例，画二变量卡诺图的步骤如下：,确定方格数,用来描述逻辑函数的特殊方格图，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项.,填入变量及最小项,A,B,0,1,0,1,00,01,11,10,方格数等于2n，也即等于最小项个数，其中n为变量的数目。,按一定顺序填入最小项。,1,1,0,0,画三变量卡诺图的步骤：,确定方格数,填入变量及最小项,方格数等于2n,其中n为变量的数目。,按一定顺序填入最小项。,1,1,1,0,0,0,0,0,图 1.13 四变量卡诺图,图 1.14 五变量卡诺
14、图,m0 m1 m3 m2,m4 m5 m7 m6,m8 m9 m11 m10,m12 m13 m15 m14,例1.8 画出逻辑函数 的卡诺图。,解：,3.逻辑函数的卡诺图化简法,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去一个变量。,例：,什么是卡诺图化简，它是在做一件什么事？,如何用看卡诺图的方法来化简？,去异，留同！寻找公共项,左图圈中的“1”公共项为B、C两项，且分别为0、1，所以公共项为,公式法化简：,再如：,例：,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。,去异，留同！寻找公共项,左图圈中的四个“1”公共项只有C项，且为1，所以
15、公共项为 C。,公式法化简：,再如：,综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2n（n=0，1，2，k）个相邻1格,可以圈在一起加以合并，合并时可消去k个不同的变量，简化为一个具有(n-k)个变量的与项。若k=n，则合并时可消去全部变量，结果为1。,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去一个变量。,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。,性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去三个变量。,小结：,卡诺图化简原则：1）只能圈偶数个“1”；2）圈越大越好，必要时可以重复圈“1”；3）将所有的“1”项圈入圈中的前提下，
16、圈的总个数越少越好。,例1.9 用卡诺图化简法求逻辑函数 的最简与或表达式,（1）画出函数的卡诺图；,（2）填写“1”项，即为“1”的最小项；,（4）寻找公共保留项。,（3）相邻偶数个“1”画在同一个圈内；,（5）写出最简与或表达式。,黄圈公共保留项为B，值为1，所以公共项为B。,公式法化简：,例1.10 用卡诺图化简函数,解：根据最小项的编号规则，得,（1）画出函数的卡诺图；,（2）填写“1”项，即为“1”的最小项；,（4）寻找公共保留项。,（3）相邻偶数个“1”画在同一个圈内；,（5）写出最简与或表达式。,例1.11 用卡诺图化简函数,解：从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的乘
17、积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：,则有,将这七个最小项填入四变量卡诺图内,化简得,提 示,（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.11的方法补齐）。,（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。,（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。,（4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。,（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为
18、1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。,（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。,（7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。,练习：判断正确与错误,正确,错误（多画一个圈）,例1,例2,错误（圈的面积不够大）,正确,例3,错误（圈的面积不够大）,正确,例4,错误（有一个圈无新的1格）,正确,4.具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法,什么是约束项,实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。例如：一个逻辑电路的输入为8421-BCD码，显然信息中有六个
19、变量组合（10101111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。约束项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,约束项的表示方法,在逻辑函数表达式中用 表示约束项，例如，说明最小项m2、m4、m5为约束项；也用逻辑表达式表示函数中的约束项，例如说明 所包含的最小项为约束项。约束项在真值表或卡诺图中用来表示。,任意项：在某些输入变量的取值下，函数 值为1，还是为0皆不影响电路的功能;无关项：约束项、任意项统称无关项,附:,例1.13 用卡诺图化简逻辑函数,解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。对该图可以有两种化简方案：,化简结果为,化简结果为,
