第一章数字逻辑基础.ppt

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1、1,数制和码制区别，各种数制间的转换逻辑函数的真值关系逻辑代数基本定理真值表、逻辑表达式、逻辑图的转化逻辑函数的化简方法,本章基本要求：,第一章 数字逻辑基础,2,1.数字信号和模拟信号,电子电路中的信号,模拟信号,数字信号,随时间连续变化的信号,时间和幅度都是离散的,概 述,3,模拟信号：,u,正弦波信号,锯齿波信号,u,4,研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器等。,在模拟电路中，所用器件一般工作在线性区，如三极管就处于放大区。,5,数字信号,特点是脉冲式的，只有两种状态：有脉冲和无脉冲。一般我们用高电

2、平代表有脉冲，低电平代表无脉冲。当然也可以反过来定义。,这种信号可以来自检测元件，如光电传感器。也可以来自某些特定电路和器件，如模数转换器，脉冲发生器等。,6,研究数字电路时注重电路输出、输入间的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，时序图，逻辑电路图等。,在数字电路中，三极管工作在非线性区，即工作在饱和状态或截止状态。起电子开关作用，故又称为开关电路。,目前广泛使用的计算机，其内部处理的都是这种信号。各种智能化仪器仪表及电器设备中也越来越多的采用这种信号。,7,主要要求：,第一节 数制和码制,8,一、数制,(一)十进制(Decimal),十进制有如下特点：,（1

3、）它的数码K共有十个，为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。,（2）相邻位的关系，高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制 的基数R等于10。,（3）任何一个十进制都可以写成以10为底的幂之和的形式。,例如：(11.51)10,1101 1100 510-1 110-2,权 权 权 权,10i 称十进制的权 10 称为基数 0 9 十个数码称数,数码与权的乘积，称为加权系数,十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式,(246.134)10=2102+4101+6100+110-1+310-2+410-3,9,(二)二进制(Binary),（XXX）2或（XXX）B,例如（10

4、11.01）2或（101111）B,数制：0、1,进位规律：逢二进一，借一当二,权：2i基数：2 系数：0、1,例如 0+1=1 1+1=10 11+1=100 10 1=1,按权展开式表示,(1011)2=123+022+121+120,将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。,(1011.11)2=123+022+121+120+12-1+12-2,=8+0+2+1+0.5+0.25=11.75,(1011.11)2=(11.75)10,10,(三)十六进制(He),(XXX)16或(XXX)H,例如：（4E6）16或（4E6）H,数码：09、A F,进位规律：逢十六进一，借一当

5、十六。,权：16i 基数：16 系数：09、AF,按权展开式表示,（4E6）16=4162+E 161+6 160,（4E6）16=4162+14 161+6 160=（1254）10,将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。,=（1254）10,（4E6）16=（1254）10,11,几种进制的优缺点:,以十进制和二进制作比较,十进制在日常生活中应用最多,是人们最熟悉和习惯的计数体制,但其十个数码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电路的两个状态可用两个数码表示,故采用二进制.二进制计算规则简单,但人们对它不习惯,另外其数位较多,不易读写.利用二进制与十进制和十六进制的对应关系

6、对十进制和十六进制以及二进制编码,用起来就很方便了。,12,二、几种不同数制间的转换,1.非十进制转换成十进制,可以将非十进制写为按权展开式,得出其相加的结果,就是对应的十进制数,例1,(11010)2=124+123+022+121+020,=24+23+21=(26)10,例2,(1001.01)2=123+022+021+120+02-1+12-2,=23+20+2-2=(9.25)10,例3,(174)16=1162+7161+4160,=256+112+4=(372)10,13,2.十进制转换为二进制,整数和小数分别转换 整数部分：除 2 取余法 小数部分：乘 2 取整法,例1 将十

7、进制数(26)10 转换成二进制数,26 余数,13,6,3,1,2,2,2,2,2,0,读数顺序,0.875,2,1.750 1,2,1.500 1,2,1.000 1,整数,读数顺序,一直除到商为 0 为止,(26)10=(11010)2,0,1,0,1,1,例2 将（0.875）10转换为二进制数,（0.875）10=（0.111）2,14,例3 将（81）10转换为二进制、十六进制数,81,2,40,1,2,20,2,0,10,2,0,5,2,0,1,2,0,0,余数,读数顺序,可用除基取余法直接求十六进制。或利用十六进制数码与二进制数码的对应关系，由二进制数转化为十六进制数。,每一个

8、十六进制数码都可以用4位二进制来表示。所以可将二制数从低位向高位每4位一组写出各组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二进制数按4位一组划分字节时最高位一组位数不够可用0补齐。,（81）10=（1010001）2=（01010001）2=（51）16,小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。,2,1,2,1,15,用二进制码表示十进制码的编码方法称为二-十进制码，即BCD码。,常用的BCD码几种编码方式如表所示,权为 8、4、2、1,取四位自然二进制数的前 10 种组合，去掉后 6 种组合 1010 1111。,16,用 BCD 码表示十进制数举例：,(473)

9、10=（010001110011）8421 BCD,(36)10=(00110110)8421 BCD,(4.79)10=(0100.01111001)8421 BCD,(50)10=(01010000)8421 BCD,注意区别 BCD 码与数制：,(150)10=(000101010000)8421 BCD,=(10010110)2=(226)8=(96)16,17,主要要求：,第二节 逻辑代数基础,18,一、逻辑函数和逻辑变量,被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的函数关系称为逻辑函数。,在逻辑代数中，逻辑变量也是用字母来表示的。逻辑变量的取值只有两个：1和0。,注意,逻辑代数中

10、的 1 和 0 不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。,例如：开关闭合为 1 晶体管截至为 0 电位高为 1 断开为 0 导通为 1 低为 0,决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物的结果为逻辑因变量。,19,二、基本逻辑关系和运算,1.与逻辑,决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。,逻辑表达式 Y=A B 或 Y=AB,与门(AND gate),若有 0 出 0；若全 1 出 1,20,开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。,2.或逻辑,决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。,若有 1 出 1若全 0 出 0,逻辑表达式 Y=A+B

11、,或门(OR gate),1,3.非逻辑,决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,1,非门(NOT gate)又称“反相器”,21,4.复合逻辑,主要要求：,22,与非逻辑(NAND),先与后非,若有 0 出 1若全 1 出 0,或非逻辑(NOR),先或后非,若有 1 出 0若全 0 出 1,与或非逻辑(AND OR INVERT),先与后或再非,可以有二个以上的输入变量,23,异或逻辑(Exclusive OR),若相异出 1若相同出 0,同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非),若相同出 1若相异出 0,注意：异或和同或互为反函数，即,只能是二个输入变量,24,三、逻

12、辑函数的表示方法及其相互转换,主要要求：,2、已知逻辑图求逻辑函数式和真值表。,3、逻辑函数式的波形图表示法。,25,根据真值表求函数表达式的方法是：,将真值表中每一组使输出函数值为1的输入变量都写成一个乘积项。在这些乘积项中，取值为1的变量，则该因子写成原变量，取值为0的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积项相加，就得到了逻辑函数式。,例：,真值表,26,A=0 B=1 C=1A=1 B=0 C=1A=1 B=1 C=1,依照取值为1写成原变量，取值为0写成反变量因子的原则得到的函数式：,验证是否正确,可直接写出L与A、B、C的逻辑函数式：L=（A+B）C,根据以上电路图以及真值表中查到，使

13、函数L为1的变量取值组合是：,27,通过简化的逻辑函数式也可以得到简化的逻辑图与前面的电路图对应的逻辑图如下所示：,28,已知逻辑函数式求真值表和逻辑图,例题：已知逻辑函数式，求与它对应的真值表 和逻辑图。,解：将输入变量A、B、C的各组取值代入函数式，算出函数Z的值，并对应地填入表中就是真值表。,29,已知逻辑图求逻辑函数式和真值表,例如：写出右图所示逻辑图的逻辑函数式。,解：首先从输入端门电路开始，逐级给每个门标号（G1G5），然后依次写出各个门的输出端函数表达式，分别为：,30,四 逻辑代数的基本定律和规则,主要内容：,基本公式、定律和常用规则,逻辑函数的代数化简法,31,1、逻辑代数的

14、基本公式,（1）与普通代数相似的定律,交换律:AB=B A A+B=B+A,结合律:(A B)C=A(B C)(A+B)+C=A+(B+C),分配律:A(B+C)=AB+AC,与对或的分配,分配律:A+BC=(A+B)A+C),或对与的分配,32,（2）变量常量关系定律,01律:A1=A A 0=0 A+1=1 A+0=A,注:A代表1和0,（3）逻辑代数的特殊定律,重叠律:A A=A A+A=A,33,（4）吸收律,推广公式：,总之：,34,将“B”以（BC）代入,2、关于等式的若干规则,（1）代入规则,将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代入规则。

15、,35,（2）反演规则,在使用反演规则时需要注意两点：,(1)必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。,(2)不属于单个变量上的反号应保留不变。,36,例：,（1）,（2）,求函数 和 的反函数：,（1）,（2）,37,（3）对偶规则,对于任何一个逻辑式Z，如果将其中“”换成“+”、“+”换成“、0换成1，1换成0，则得到一个新的函数式，这个函数Z的对偶式，记作Z。,可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶规则。,对偶规则的应用：,运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证Z1和Z2是否相等，则只需证明其对偶式Z1、Z2 是否相等（即如已知Z1=Z2，那么

16、Z1和Z2必然相等）。,例:A（B+C）=AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC=（A+B)(A+C)成立。,38,第三节 逻辑函数的化简,1.逻辑函数的几种常见的形式,一、逻辑函数的代数化简法,39,（与或式）,（与非-与非式）,（或-与非式）,（或非-或非式）,40,根据,（与或非式）,（与非与式）,（或与式）,（或非-或非式）,41,2.常用的代数化简法,代数化简法也称公式化简法，其实质就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得最简式。,使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统

17、可靠性。,42,并项法:,运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。,补充例题：,43,（1）,（2）,补充例题：,A+AB=A 将多余的乘积项AB吸收掉,44,和,消去法：,消去乘积项中的多余因子；,消去多余的项BC。,补充例题：,45,、A+A=A 或,配项法：,用该式乘某一项，可使其变为两项，再与其它项合并化简。用该式在原式中配重复乘积或互补项，再与其它项合并化简。,补充例题：,46,例题：,证：根据摩根定理，得,即同理,47,48,49,50,二、逻辑函数的卡诺图化简法,主要内容:,51,一、逻辑函数的最小项及最小项表达式,对于n变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都包含n个变量的原变

18、量或反变量，每个变量在乘积项中仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项，这样的与或式称为最小项表达式。,例如：A、B、C三变量的最小项有,n 个变量共有 个最小项,52,请大家思考：如何将一个非最小项表达式转换为最小项表达式？,F=AB+BC+CA,根据：,所以有：,代入后展开再消去相同项即可得所要。,如给出表达式为：,53,例：,的真值表为：,由函数的真值表可直接写出函数的最小项表达式，即将真值表中所有使函数值为1的各组变量的取值组合以乘积项之和的形式写出来，在乘积项中，变量取值为1写原变量文字符号，变量取值为0写反变量文字符号。,54,为了表示方便，最小项常以代号的形式写为mi,m 代表最

19、小项，下标 i为最小项的编号。i 是 n 变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。,（1）最小项的编号,一个n变量函数，最小项的数目为2n个，其中所有使函数值为1的各最小项之和为函数本身，所有使函数值为0的各最小项之和为该函数的反函数。,55,如何编号？,3 变量逻辑函数的最小项有 23=8 个,将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。,简记符号,例如,例:,56,（2）最小项的性质,根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质:,对于任一个最小项，只有一组变量取值使它为1，其余各种变量取值均使它为0。,在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项的乘积为0

20、，且全体最小项的和为1。,若两个最小项之间只有一个变量不同，则称这两个最小项逻辑相邻。两个逻辑相邻的最小项可合并为一项并消去相反变量。,57,逻辑相邻,如,58,二、逻辑函数的卡诺图表示方法,（1）卡诺图的画法规则,卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。,为了便于对函数进行化简，常将真值表按照特殊规则排列，做成图表，称卡诺图。在卡诺图中变量组合按照循环邻接的原则进行排列。,59,要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。,左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。,变量位置是以高位到低位因子的次序，

21、按先行后列的序列排列。,将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。,60,卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的左方和上方。,卡诺图与变量的最小项按一定规则对应，每一个小方格代表一个最小项。,61,ABCD0100,四变量卡诺图,62,（2）用卡诺图表示逻辑函数,具体做法：,如果逻辑函数式为最小项表达式，就在卡诺图上把式中各最小项所对应的小方格内填1，其余的方格填入0，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图了。,例1：,用卡诺图表示逻辑

22、函数：,1）根据逻辑函数画卡诺图,63,解：因为函数Z为四变量最小项表达式，应首先确定各最小项编号，并将函数写为 的形式，有,然后画出四变量卡诺图，将对应于函数式中各最小项的方格位置上填入1，其余方格位置上填入0，就得到了如图所示的函数Z的卡诺图。,64,2）由卡诺图求函数式,例：已知逻辑函数F的卡诺图如图所示，试写出 F的函数式。,解：因为F等于卡诺图中填入1的那些最小项之和,因此：,65,3）用与或式直接填入卡诺图,首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入1，其余的填0，就得到了函数的卡诺图。这种做的依据

23、是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法都可以写为最小项之和的形式，这个乘积项就是那些被展开的最小项的公因子。,CD 是 m3、m7、m11、m15 的公因子,66,例3：试将函数 填入卡诺图。,解：首先将 Z 变换为与或式,非最小项与或式应该如何填入卡诺图？,67,68,三、用卡诺图法化简逻辑函数,1、基本思想：在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅有一个因子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反变量，则两项可合并为一项，消除其不同的因子，合并后的项为这两项的公因子。,例：某四变量函数中包含m6,m7,m14,m15,则用代数法化简时写成：,69,而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，可

24、以把它们圈为一个方格群，直接提取其公因子BC，如图所示：,70,2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤,1.首先将逻辑函数变换为与或表达式。,2.画出逻辑函数的卡诺图。,3.将2n个为1的相邻方格分别画方格群，整理每个方格群的公因子，作为乘积项。,4.将整理后的乘积项加起来，就是化简后的与或式。,71,卡诺图化简实例,72,73,74,在画包围圈时必须注意：,（1）包围圈越大越好；,（2）包围圈个数越少越好；,（3）同一个“1”方块可以被圈多次（A+A=A）；,（4）每个包围圈要有新成分；,（5）画包围圈时，先圈大，后圈小；,（6）不要遗漏任何“1”方块。,75,F=AB+BC,例：用卡诺图化简逻辑函

25、数,76,例,画出四变量的卡诺图,把函数 所具有的最小项为的填入相应的小方格中,将函数式中没有出现最小项的位置填,圈取值为1的小方格,个数为n,小方格尽可能地多取。,消去取值不同的变量,将得到的三个最小项相加，得,77,不能采用的圈小方格的方法：,78,例：化简,Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,79,例：,当取值为0的最小项个数少时，可以利用其化简。但要注意逻辑关系是反的。,80,四、具有无关项的逻辑函数及其化简,无关项的含义：,有些n变量的逻辑函数，并不一定与2n个最小项

26、都有关系，有时它仅与其中一部分有关，而与另一部分无关。这部分不论是“0”还是“1”均与逻辑函数的逻辑值无关。这些最小项称为无关最小项，也称随意项、约束项，用 d 表示。具有无关项的逻辑函数称为有约束条件的逻辑函数。,例如：8421BCD码，只有00001001十种输入组合有效，其余六种10101111不能出现，也就是说，它们与8421BCD码无关。,81,无关项在卡诺图化简函数中的应用。,因为约束项是不会出现的项，或是对函数值无影响的项，所以将其取为0 还是取为1 都可以。在卡诺图中，无关项所对应的小方格内填 或。,注：,卡诺图中的无关项“”既可当作1也可当作0来对待，画方格时可以把“”包括在

27、里面。其原则仍然是相邻最小项构成方格最大、方格群数目最少为好。但要注意方格群中必须包含有效最小项，不能全是无关项，而且，只要按此原则把1圈完，有些无关项不是非得用不可。这样得到的各乘积项既具有独立性又最简化。,82,例：化简具有约束项的函数：,解：首先将m项、d 项填卡诺图，其余位置填0，如图所示。然后按规则画方格群，整理出化简后的函数式为：,83,例：已知真值表如图，用卡诺图化简。,101状态未给出，即是无所谓状态。,84,化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。,F=A,85,思考题：,试用卡诺图表示式,从图上能否看出这已是最简式？,86,小 结1.熟记常用码型8421码与十进制对应关系。2.熟练掌握逻辑代数运算规则，灵活运用其进行函数变换和化简。3.掌握逻辑函数的三种表达方式及相互转换。三种方式即：逻辑代数式；真值表（卡诺图）；逻辑图。4.掌握卡诺图的构作方法及化简方法。,