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1、,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,一、无穷小运算法则,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,再例如，,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,而,二、极限运算法则,定理3,注意：1.定理适用于数列极限；,2.定理可以推广到有限个函数；,3.定理只有在极限存在的情况下才适用.,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,定理4
2、 若,且,则,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,例5,解,(无穷小因子分出法),例6,解,例7,解,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例8,解,先变形再求极限.,例9,解,例10.求,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,例11,解,左右极限存在且相等,三、复合函数的极限运算法则,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,例12,三、小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则
3、,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,(1)分式函数极限求法,(2)利用无穷小运算性质求极限;(3)通分法;(4)有理化方法;(5)代数方法.,(6)利用左右极限求分段函数极限.,(7)复合函数极限求法,设中间变量,思考题,1.在某个过程中，若 有极限 无极限，那么 是否有极限？为什么？,2.已知,求,思考题解答,1.没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,2.解：,3.试确定常数 a 使,解:,令,则,故,因此,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,
