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1、8/18/2023,微积分讲义,设计制作,王新心,8/18/2023,2.5 极限的运算法则,变量极限的四则运算法则,8/18/2023,【定理 2.8】在某一变化过程中，,则,证,总有那么一个时刻，,刻以后，,也总有那么一个时刻，,第二章 极限与连续,在那个时,恒有,在那个时刻以后，恒有,中较晚的那个时刻以后，,在两时刻,两式同时成立，即,若,8/18/2023,所以,证毕。,推论两个无穷小量的代数和仍为无穷,第二章 极限与连续,小量。,到有限个，,说明定理和推论中的“两个”都可以推广,但不能推广到无穷个。,8/18/2023,【定理 2.9】在某一变化过程中，,则,证利用变量极限与无穷小量
2、的关系,其中,其中均为无穷小量，,第二章 极限与连续,若,小量（为什么？），,则和仍为无穷,8/18/2023,推论1两个无穷小量的乘积仍为无穷,推论3若是正整数，则,说明定理和推论中的“两个”都可以推广,第二章 极限与连续,小量。,到有限个，,但不能推广到无穷个。,8/18/2023,【定理 2.10】在某一变化过程中，,则,（证明略）,说明在应用极限运算法则时，,第二章 极限与连续,若,个变量的极限必须存在。,要求每一,8/18/2023,多项式的极限,例1计算,解,第二章 极限与连续,8/18/2023,例2计算,解因为,所以,有理分式的极限,设，且，则,第二章 极限与连续,8/18/2
3、023,例3计算,解因为，,利用无穷小量与无穷大量之间的关系,先求,则,设，且,则,第二章 极限与连续,的运算法则。,不能直接用极限,8/18/2023,解由于分子和分母的极限不存在，,将分子和分母同除以未知数的最高次幂,例4计算,第二章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,8/18/2023,例5计算,解方法同例4。,例6计算,解方法同例4。,第二章 极限与连续,8/18/2023,当时，有理分式的极限,说明以后计算极限时可直接应用。,第二章 极限与连续,8/18/2023,例7计算,解因为分子和分母的极限都为0，,由极限的定义，,约去极限为0的公因子,第二章 极限与连续,直接应用极
4、限的运算法则。,不能,消去的因子。,时，,分解因式,8/18/2023,例8计算,解因为分子和分母的极限都为，,将分子有理化,将分子或分母有理化，再约去公因子,第二章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,8/18/2023,例9计算,解因为两个分式的极限都不存在，,先通分,先通分，再约去公因子,第二章 极限与连续,不能直接应用极限的运算法则。,8/18/2023,例10已知,计算,解,即,第二章 极限与连续,分段函数分点处的极限利用充要条件计算,8/18/2023,内容小结,1.极限的运算法则,2.利用运算法则求极限,作业P91 11-21,-几种特殊形式函数的极限,第二章 极限与连续
5、,8/18/2023,备用题,1.若存在，不存在，,是否存在，为什么？,解不存在。,若存在，,由极限的运算法则知，,思考本题条件改成和都不存,在，,第二章 极限与连续,问,存在，矛盾。,结论又如何？,8/18/2023,2.计算,解,所以,思考下列做法是否正确，为什么？,第二章 极限与连续,8/18/2023,3.若求的值。,解由于分式的极限存在，,即,将其代入已知极限中,得,第二章 极限与连续,为0，,而分母的极限,则分子的极限必为0。,8/18/2023,4.计算,解这是无穷个无穷小量的和，,第二章 极限与连续,运算法则。,不能用,8/18/2023,5.设，,（1979）,解,第二章 极限与连续,求,8/18/2023,6.设函数，,（1999）,解,第二章 极限与连续,计算,8/18/2023,7.设是多项式，,求,解利用第一个极限，,代人第二个极限，,分析得到,故,第二章 极限与连续,且,令,得,
