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1、函数与极限,1,极限运算法则,求极限方法举例,小结 思考题 作业,1.5 极限运算法则,第一章 函数与极限,2,定理1,证,(1),一、极限运算法则,3,即常数因子可以提到极限符号外面.,由无穷小运算法则,得,(2),的特例是,4,定理2,那末,如果,5,注意,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是有限个函数,它们的极限都,商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,存在,6,解,例,二、求极限方法举例,7,小 结,则有,则有,8,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,例,得,9,解,例,消去零因子法,再求极限.,方 法,分子,分母
2、的极限都是零.,先约去不为零的无穷小因子,10,例,解,无穷小因子析出法,分子,分母的极限均为无穷大.,方 法,先用,去除分子分母,分出无穷小,再求极限.,先将分子、分母同除以x 的最高次幂,无穷小分出法,以分出,再求极限.,求有理函数当,的极限时,无穷小,11,小 结,例,解,12,例,解,先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.,使和式的项数固定,原式=,不能用运算法则.,方 法,13,例,解,不满足每一项极限都存在的条件,不能直接,应用四则运算法则.,分子有理化,14,解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用,例,是无穷小与有界函数的乘积,15,练习
3、,解,原式=,解,原式=,16,求极限,例,解,例,解,练习,练习,17,解,例,解,例,根据无穷大与无穷小的关系得,因为,练习,练习,18,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例,解:,例,练习,练习,19,例,解,所以,练习,20,x=3 时分母为 0!,解,练习,21,定理4,(复合函数的极限运算法则),设函数,是由函数,与函数,复合而成,则,定理中,把,或,而把,22,例,求极限:,解,可看作,与,复合而成.,并且,因而,23,例,解,原式=,故,24,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？,解答,没有极限,假设,由极限运算
4、法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,有极限，,为什么？,(1),25,试确定常数,解,令,则,使,即,(2),26,思考及练习,解:,原式,2.,练习,27,求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,练习,28,求,解:x=1 时，,分母=0，分子0，,但因,练习,29,求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,练习,30,求,解:令,已知,原式=,练习,31,求,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,练习,32,解,练习,33,两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;,有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;,有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之 积仍为无穷大;,用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.,容易证明,34,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,
