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1、随机事件及其概率,第二节 概率的概念,引言,随机事件具有偶然性，在一次试验中不可事先预知。但相同条件下重复进行多次试验，即会发现不同事件发生的可能性存在大小之分。,事件A发生可能性大小的度量概率P(A),概率是事件本身具有的属性，是通过大量重复试验展现出来的内在特征。,介绍众多概率定义之前，先引入频率。,定义,一、事件的频率,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,一、事件的频率,一、事件的频率,可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性.我们可以用大量试验下
2、频率的稳定值来描述事件发生的可能性，得到概率的统计定义.,一、事件的频率,二、概率的定义,1.概率的统计定义,在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件的频率nA/n将稳定在某一个常数p附近，则称此常数p为事件出现的概率，记作,注：当试验次数n充分大时，根据频率的稳定性，可以用频率近似的代替概率，即,二、概率的定义,注意：,（1）理解频率与概率的区别与联系,概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随机性很大的表面现象。,（2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限,（3）统计定义的局限性,试验n+1次所计算的频率并不一定比n次试验更加接近概率，更何况我们无
3、法保证试验的条件不变以及完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。,二、概率的定义,鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们往往依照长期积累的关于“对称性”的实际经验，提出模型直接计算概率。这类模型称为等可能试验概型。,二、概率的定义,（1）古典试验概型,若随机试验具有如下两个特征：,中基本事件总数n有限有限性,每个基本事件发生的可能性相同等可能性,则称该试验为古典型随机试验。,2.概率的古典定义,二、概率的定义,（2）古典定义,设古典型试验E的样本空间中所含基本事件数为n，A为任意一个事件，若设事件A包含的基本事件数为m，则A发生的概率为,二、概率的定义,注：利用该定义计算时应考察有限性
4、和等可能性这两个条件,例1 一付扑克牌54张，任取一张，求它是黑桃的概率。,二、概率的定义,解:以每一张扑克牌为基本事件，所以,设A表示“任取一张是黑桃”，,注：若以花色为基本事件，共5种花色，即,此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。,二、概率的定义,若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色为基本事件数求解均正确。即,以张数为基本事件：,以花色为基本事件：,1、选择适当的样本空间满足有限与等可能,二、概率的定义,利用古典定义解题的基本步骤：,2、计算样本点数量，利用公式解题。,二、概率的定义,3.概率的几何定义,（1）几何试验概型,若随机
5、试验具有如下两个特征：,中基本事件总数无限不可数无限性,每个基本事件发生的可能性相同均匀性,则称该试验为几何型随机试验。,二、概率的定义,（2）几何定义,设几何型试验E的样本空间可用一有界区域描述，其中部分区域可描述A事件所含样本点数量，则A发生的概率为,注：试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位置形状无关。,二、概率的定义,二、概率的定义,三大定义的局限：,统计定义大量重复试验、破坏性试验,古典定义样本空间有限等可能,几何定义样本空间无限等可能,鉴于此，数学家
6、总结三者共性，提炼概率与事件间函数对应的本质以及诸多共同性质，于1933年，由苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义,4.概率的公理化定义,思考：函数的定义域与值域是什么？,三、概率的性质,性质1,注意：不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定为不可能事件；必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。,性质2,三、概率的性质,性质3,证明,性质4,性质5,三、概率的性质,性质6,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,三、概率的性质,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,例2 某工厂职工可以订阅两种读物
7、报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2,两种都订阅的概率为0.1.求,解 事件A,B分别表示“订阅报纸和订阅杂志”,(1),(1)订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2)至少订阅一种读物的概率;(3)两种读物都不订阅的概率.,(2),(3),三、概率的性质,例3,三、概率的性质,随堂练习,1.在10到99的所有两位数中任取1个数字，求其能被2或者3整除的概率。,选讲部分,求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事件总数和对所求概率事件有利的事件个数在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：,(1)加法原理：设完成一件
8、事有k类方法，每类又分别有m1,m2,mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有m1+m2,+mk种方法,(2)乘法原理：设完成一件事有n个步骤第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，第n步有mn 种方法，则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.,(3)不同元素的选排列,从n个不相同的元素中无放回取k个的排列(k n)，称为从n个不同元素中取k个元素的选排列,共有 种。当 n k 时，称n个元素的全排列共有n！种。,例如：从3个元素取出2个的排列总数有6种,选讲部分,(4)不同元素的重复排列,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,3,2,4,1,n=4,k=3,共有4.4
9、.4=43种可能取法,从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排列，共有种（元素允许重复）。,选讲部分,(5)不全相异元素的排列,在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1,k2,km 个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：,n个元素,因为:,选讲部分,(6)环排列,从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：,(7)组合,从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列（组合），共有 种.,选讲部分,我们主要学习等可能概型(古典概型),四、例题分析,古典概型中事件概率的计算公式,四、例题分析,古典概型中主要介绍两大典型例题：,（一）抽球问题（随机抽取问题）,四、例题分析,
10、例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球，分析下列事件概率：,古典概型的等可能性决定了不能按照颜色划分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。,四、例题分析（抽球问题）,1、有放回抽取,抽取问题中的有放回抽取自然区分顺序，因此样本空间的样本点总数为：,例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球,四、例题分析（抽球问题）,2、无放回抽取,无放回抽取分为有序与无序两种方式。有序即每次取一，不放回；无序即指一次性取够，不放回。,例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球,（有序抽取）,四、例题分析（抽球问题）,2、无放回抽取,例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球,（无序抽取）,我们发现不同方
11、式下结果一致，但显然无序抽取要比有序抽取计算简单。,重新整理无放回抽取的计算思路，并且发现，三个事件均可转化成“恰有”类型的事件或运算，因此我们以第二个事件“恰有一个白球”为例,四、例题分析（抽球问题）,6,传说中的“超几何概率”模型,超几何概率：,四、例题分析（抽球问题）,N,条件：无放回抽取。目的：简化运算特点：分子分母组合对应项满足和运算,四、例题分析（抽球问题）,例5 一批产品有12件，其中4件次品，8件正品，现从中任取3件，求取出的3件中含有次品的概率.,解：设,则,另解,两两互斥，,四、例题分析（抽球问题）,练习,2 某油漆公司发出17桶油漆，其中10桶白漆，4桶黑 漆，3桶红漆，
12、在搬运中所有标签脱落，交货人随意将油漆发给顾客.问一个订了4桶白漆3桶黑漆2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到所订货的概率.,答案,四、例题分析（质点落入问题）,（二）生日问题（分房问题）,特点：,（1）每个人的生日有 种可能；,（2）任意一天可以容纳很多人的生日。,例6 房内有500人，问至少一人生日是10月1日的概率。,解：因每人生日都有365种可能，故,设A：至少一人生日在10月1日，则,P(A)=P(至少一人生日在10月1日),=1-P(大家生日都不在10月1日),四、例题分析,分析,此问题可以用投球入盒模型来模拟,500个人,500个小球,365天,365个盒子,相似地有分房问题与投
13、信问题,信件,邮筒,人,房子,四、例题分析（质点落入问题）,特点：,每一个元素面对多个选择，一次只能主动选择一种；,每一种选择被动的可以容纳多个元素。,关键：,四、例题分析,解：每球都有N种放法，,（1）当n=N时，每盒恰有一球，,n个球共 n!种放法，,设A表示“每盒恰有一球”，则,四、例题分析（质点落入问题）,n个球共 种放法，,例7 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：,（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；,（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。,四、例题分析,例7 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：,（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；,（2）当nN时，任意n个盒
14、子中各有一球的概率。,解:（2）当nN时，盒多球少，先从N个盒中任取n个，,再在取出的n个盒中每盒放一个，,共 n!种放法，,设B表示“任意n个盒中各有一球”，则,四、例题分析（质点落入问题）,共有 种可能，,四、例题分析,例8 将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？,解：设A，B，C分别表示杯中球数最多为1，2，3，,于是放球过程所有可能结果为,四、例题分析（质点落入问题）,例9 将 15 名新生（其中3名是优秀生）随机地分配到三个班级中,其中一班4人，二班5人，三班6人.求(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配在同一个班级的
15、概率是多少?,解：,15名新生按要求分配到三个班级中的分法总数:,(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,四、例题分析,因此所求概率为,(2),四、例题分析,练习1 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解：,随堂练习,说明,随堂练习,我们利用软件包进行数值计算.,随堂练习,练习2 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?,解：A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双,=4只鞋子中没两只鞋子配成一双,随堂练习,练习3 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,随堂练习,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,随堂练习,
