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1、数学建模竞赛,1 报童的诀窍2 随机人口模型3 牙膏的销售量4 健康与疾病 5 钢琴销售的存贮策略,第五讲 概率统计模型,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,问题,报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,1 报童的诀窍,建模,设每天购进 n 份，日平
2、均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n)最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t)时刻 t 的人口,随机变量.,Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差,2 随机人口模型,若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作
3、以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).,2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).,事件X(t+t)=n的分解,X(t)=n-1,t内出生一人,X(t)=n+1,t内死亡一人,X(t)=n,t内没有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率Pn(t+t),Pn-
4、1(t)bn-1t,Pn+1(t)dn+1t,Pn(t)(1-bnt-dn t),o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已知人口为n0),转而考察X(t)的期望和方差,微分方程,建模,X(t)的期望,求解,基本方程,求解,比较：确定性指数增长模型,X(t)的方差,-=r D(t),D(t),X(t)大致在 E(t)2(t)范围内（(t)均方差）,r 增长概率,r 平均增长率,问题,建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型,预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量,收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价,3 牙膏的销售量,基本模型,
5、y 公司牙膏销售量,x1其它厂家与本公司价格差,x2公司广告费用,x1,x2解释变量(回归变量,自变量),y被解释变量（因变量）,0,1,2,3 回归系数,随机误差（均值为零的正态分布随机变量）,MATLAB 统计工具箱,模型求解,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha),输入,x=n4数据矩阵,第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05),b的估计值,bintb的置信区间,r 残差向量y-xb,rintr的置信区间,Stats检验统计量 R2,F,p,yn维数据向量,输出,由数据 y,x1,x2估计,结果分析,y的90.54%可由模型确定,F远超过F
6、检验的临界值,p远小于=0.05,2的置信区间包含零点(右端点距零点很近),x2对因变量y 的影响不太显著,x22项显著,可将x2保留在模型中,模型从整体上看成立,销售量预测,价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4,估计x3,调整x4,控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元,销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）,上限用作库存管理的目标值,下限用来把握公司的现金流,若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上,(百万支),模型改进,x1和x2对y的影响独立,两模型销售量预测比较,(百万支)
7、,区间 7.8230，8.7636,区间 7.8953，8.7592,(百万支),控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元,预测区间长度更短,略有增加,x2=6.5,x1=0.2,x1,x1,x2,x2,两模型 与x1,x2关系的比较,交互作用影响的讨论,价格差 x1=0.1,价格差 x1=0.3,加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）,价格差较小时增加的速率更大,x2,完全二次多项式模型,MATLAB中有命令rstool直接求解,从输出 Export 可得,马氏链模型,系统在每个时期所处的状态是随机的,从一时期到下时期的状态按一定概率转移,下时期状态只取决于本时期状态和转
8、移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性）,描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型,马氏链(Markov Chain)时间、状态均为离散的随机转移过程,通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质,例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，,人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变,保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额,若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率,4 健康与疾病,Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,无关,状态与状态转移,
9、状态转移具有无后效性,设投保时健康,给定a(0),预测 a(n),n=1,2,设投保时疾病,n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关,状态与状态转移,例2.健康和疾病状态同上，Xn=1 健康,Xn=2 疾病,p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02,死亡为第3种状态，记Xn=3,健康与疾病,p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1,p31=0,p32=0,p33=1,设投保时处于健康状态，预测 a(n),n=1,2,不论初始状态如何，最终都要转到状态3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于nk,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3
10、不会转移到其它状态。,状态与状态转移,马氏链的基本方程,基本方程,马氏链的两个重要类型,1.正则链 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。,w 稳态概率,马氏链的两个重要类型,2.吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i,pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。,有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式,R有非零元素,yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。,钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金,一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架,存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存
11、量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。,估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。,背景与问题,5 钢琴销售的存贮策略,问题分析,顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率,存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3。,用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。,动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。,可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。,模型假设,钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每
12、周1架,存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。,以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。,在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。,模型建立,Dn第n周需求量，均值为1的波松分布,Sn第n周初库存量(状态变量),状态转移规律,状态转移阵,模型建立,状态概率,马氏链的基本方程,已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i 的概率,n,状态概率,第n周失去销售机会的概率,n充分大时,模型求解,从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。,1.估计在这种策略下失去销售机会的可能性,模型求解,第n周平均售量,从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架),n充分大时,思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架)?,2.估计这种策略下每周的平均销售量,敏感性分析,当平均需求在每周1(架)附近波动时，最终结果有多大变化。,设Dn服从均值为的波松分布,状态转移阵,第n周(n充分大)失去销售机会的概率,当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12%。,
