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1、土木工程测量,主要内容水准测量角度测量距离测量测量误差(Observation Inaccuracy)小地区控制测量地形图测绘及应用施工测量与施工放样,第五章 测量误差知识,第一节 观测误差概述 对未知量进行测量的过程称为观测，测量所获得的数据称为观测值。观测值与真实值（简称真值）之间的差异称为观测误差或测量误差。用li 代表观测值，X代表真值，则,其中i 就是观测误差，通常称为真误差（简称误差）。,1、产生观测误差的原因,（1）仪器、工具（仪器因素）仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。（2）观测者（人为因素）观测者的技术水平和感官能力。（3）外界条件（环境因素）环境温度、湿度、风力、透明
2、度、大气折光等。,2、观测误差的分类和处理方法,观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种。（1）粗差 粗差又称“不正当误差”“过失误差”，属于大量级误差。含有粗差的测量值称为“坏值”或“异常值”。产生原因：作业人员的疏忽大意、失职（如照错目标、读错、记错等）；仪器受到干扰或发生故障；容许误 差取得过小等。处理办法：严格按照测量规范；进行必要的重复观测；通过多余观测进行严密检核、验算。含粗差的观测值 都不能用，一旦发现粗差，观测值必须舍弃并重测。,观测误差的分类和处理方法,（2）系统误差（system error）在一定观测条件下对观测量作一系列的观测，大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差
3、。系统误差具有积累性。产生原因：如经纬仪竖盘指标差对竖直角的影响、地球 曲率对测距和高程的影响等。消减办法：严格检校仪器；在观测方法和程序上采取必 要措施，如角度测量中采取盘左、盘右观测；找出 产生系统误差的原因和规律，对观测值进行改正，如对距离观测值进行三项改正，对竖直角进行指标 差改正等。,观测误差的分类和处理方法,（3）偶然误差（accident error）在一定观测条件下进行一系列观测，大小和符号呈现偶然性的误差称为偶然误差，又称随机误差。此类误差表面上看来没有规律性。产生原因：不固定，难以控制，如估读误差、照准误差 等，其大小、符号纯属偶然。处理办法：粗差可以发现并剔除，系统误差可
4、加以改 正，但偶然误差是不可避免的。大量的偶然误差具有统计规律性，可对其进行统计 分析，并运用其统计特性来建立衡量测量精度的相 关标准。,偶然误差的特性,3、偶然误差的特性 偶然误差在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位。因此，本章主要研究偶然误差。对某未知量进行n次观测，其偶然误差具有统计规律。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：（1）范围（有界性）在一定观测条件下的有限个观 测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；（2）数值（超小性）绝对值小的误差出现的频率 大，绝对值大的误差出现的频率小；（3）符号（相等性）绝对值相等的正、负误差出现 的频率大致相等；,偶然误差的特性,（4）累
5、加相消性 当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值极限为零，即,其中，,，中括号“”表示变量代数和。,频率直方图 以误差大小为横坐标，以频率 k/n 与区间d的比值（k/n）/d为纵坐标，用直方图表示偶然误差的分布情况。,偶然误差的特性,误差分布曲线 误差个数 n，同时无限缩小误差区间d，频率直方图成为光滑曲线，即误差分布曲线，是正态分布曲线，函数式为：,为概率密度函数，,为误差分布标准差：,第二节 衡量观测值精度的标准,从统计学角度上说，精度是指误差分布的密集或离散程度，它体现了观测结果的优劣。衡量精度的标准主要有以下几种：1、中误差 标准差是衡量精度的一种理论表达式。但观测次数不可能无限
6、多，因此实用中以中误差作为精度衡量标准的一种，其定义为：,衡量观测值精度的标准,中误差又称均方误差。式中2=(i)2，i为观测真误差，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线的两个拐点横坐标。中误差与精度成反比。中误差与真误差均为绝对误差。2、相对误差 采用中误差m的绝对值与观测值 L的比值作为衡量精度的指标，称为相对中误差，是相对误差的一种，一般用K表示，即,衡量观测值精度的标准,距离测量中，还常用相对较差来检核，其定义为：,相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度。【注意】不能用相对误差来衡量测角精度，因为测角误差与角度大小无关。,衡量观测值精度的标准,3、极限误差和容许误差 极限误差是
7、偶然误差绝对值的限值。偶然误差绝对值大于 3的概率仅为0.3%，可以认为3是真误差的极限，即3为极限误差：,测量实践中，用容许误差对偶然误差的绝对值进行限制。根据精度要求的不同，测量规范常作如下规定：,或,第三节 误差传播定律,设观测值 Z 是独立观测变量 X1，X2，Xi，Xn的函数，即 Z=f（X1，X2，Xi，Xn）。Z 的中误差为mZ，各独立变量对应的观测中误差分别为m1，m2，mi，mn。各变量观测中误差与其函数中误差之间的关系，称为误差传播定律，由泰勒级数展开可推导得到其表达式为（推导过程见附录1）：,误差传播公式,简单函数的中误差传播公式,误差传播定律（例题）,【例5-1】y=D
8、sin，观测值 D=225.85m0.06m，=157 00 3020。求y的中误差 my。,解 根据误差传播公式有,则y的中误差 my 为,及,，,第四节 等精度直接观测平差,除了标准实体或特殊观测量（如三角形内角和），任何单个未知量的真值都无法确知。为可靠估计真值，只有通过重复观测，提高测量成果精度。为消除重复观测值之间的矛盾，尽可能的估计真值，就必须按一定的数据处理原则，采用适当计算方法，对观测值加以必要而又合理的调整，予以适当改正，从而求得观测量的最佳估值，并对观测质量进行评估。这一数据处理过程称为测量平差或观测平差。在相同条件下进行的观测称为等精度观测，所得观测值称为等精度观测值。对
9、一个未知量的直接观测值进行平差称为直接观测平差。,最或是值,1、最或是值 平差结果是得到未知量最可靠的估值，最接近真实值，称为最或是值。等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最或是值。,观测值与最或是值之差，称为最或是误差，用vi 表示：,设对某量进行了n次等精度观测，其观测值为l1，l2，li，ln，该未知量的真值为X，各观测值的真误差为1，2，i，n，则其最或是值为：,v=0,评定精度（观测值中误差）,2、评定精度 由于单个未知量的真值不可知，因此真误差也就不可知，所以不能直接由中误差的定义来求中误差。但是可以通过有限个等精度观测值 li 求出最或是值 x，然后求出最或是误差
10、vi，进而计算中误差 m。,由真误差、中误差的关系，利用最或是误差的概念，可得等精度观测的观测值中误差计算公式（推导过程见附录2）：,评定精度（最或是值中误差）,由最或是值 x、观测值中误差 m，运用误差传播定律，可得最或是值中误差（推导过程见附录2）：,由上式可知，最或是值（算术平均值）的中误差与观测次数平方根成反比，因此增加观测次数 n可提高最或是值的精度。但当 n达到一定数值后（如n=10），再增加观测次数，则工作量增加，而提高精度的效果却不明显。故应设法提高观测值本身的精度。,评定精度（例题）,【例5-2】对某角度进行了5次等精度观测，观测结果列于下表。试求观测值的中误差 m。,解 计
11、算最或是值 x、最或是误差 vi 并列于表中。,则观测值中误差m为,第五节 不等精度直接观测平差,若观测时仪器精度不同，或观测方法不同，或外界条件不同，不同观测条件下的观测称为不等精度观测，获得的观测值称为不等精度观测值。对某未知量进行不等精度观测时，各观测值的中误差不同，观测值也具有不同的可靠性。因此，在对观测值进行最可靠估值时，就 不能简单的取算术平均值。不等精度观测值的可靠性，可用观测值“权”来表示。观测值精度越高，其权越大。需要指出的是，权只具有相对意义，起作用的是各观测值权的比值。权通常用字母 p 表示，且恒为正。,权与中误差的关系,1、权与中误差的关系 观测值的中误差越小，其值越可
12、靠，权就越大。因此可用观测值的中误差来定义观测值的权。设 n 个不等精度观测值的中误差为mi（i=1，2，n），则权可由下式来定义：,式中，可取任意正常数。选择适当的值可使权成为便于计算的数值。,权与中误差的关系（例题）,【例5-3】对某一角度进行了n次不等精度观测，求算术平均值 x 的权。,解 设一测回角度观测值的中误差为m，算术平均值 x的中误差为，设=m2，由权的定义可得：,算术平均值 x 的权为,等于 1 的权称为单位权,一测回观测值的权为,角度观测的权与其测回数成正比,加权平均值及其中误差,2、加权平均值及其中误差 设不等精度观测值 li 的权为 pi（i=1，2，n），则加权平均值
13、 L0为不等精度观测值的最或是值，即：,加权平均值中误差可用最或是误差 vi=li L0 来表示：,附录1 中误差传播公式,设观测值 Z 是独立观测变量 X1，X2，Xn的函数，即 Z=f（X1，X2，Xn）。Z 的中误差为mZ，各独立变量对应的观测中误差分别为m1，m2，mn。各变量观测中误差与其函数中误差之间的关系，称为误差传播定律。现推导中误差传播公式如下。,设,（1）,式（1）中：Xi 独立变量真值；li 独立变量 Xi 的观测值；i li 的偶然误差。,附录1 中误差传播公式,将式（2）按多元函数泰勒级数展开，有：,则,（2）,（3）,式（2）中，Z 为函数 Z 的误差，即：,（4）
14、,附录1 中误差传播公式,又设各独立变量都观测了 k 次，则Z 的平方和为：,（5）,附录1 中误差传播公式,由偶然误差的相消性可知，当观测次数 k时，上式中im（im）的总和趋于0，并由中误差的概念，有：,（6）,式（6）中，i=1，2，n。将（6）式带入（5）式并整理可得中误差传播公式：,附录2 观测值与最或是值的中误差公式,1、观测值的中误差公式 某未知量的 n 次等精度观测值为l1，l2，ln，则真误差i 及最或是误差 vi 分别为：,（7）,式（7）二式相减，可得：,（8）,令 x X=，代入式（8），则有：,（9）,附录2 观测值与最或是值的中误差公式,式（9）两边取平方和，可得：,（10）,而,（11）,v=0,附录2 观测值与最或是值的中误差公式,由偶然误差的相消性可知，当 n时，式（11）等号右边第二项趋于0，故有：,（12）,将式（12）代入式（10），且两边同除以 n 可得：,整理式（13）可得观测值中误差公式：,（13）,附录2 观测值与最或是值的中误差公式,2、最或是值的中误差公式 某未知量的 n 次等精度观测值为l1，l2，ln，中误差为m，最或是值 x 为：,由误差传播定律，有：,由式（14）可得最或是值中误差公式：,（14）,（15）,
