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1、1.3 矢量场的旋度,一、矢量的环流：,1、定义：,线,在矢量 的场中，矢量 沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环流。,2、有旋场、无旋场（保守场）：,在某一矢量 的场中，矢量 沿任意闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场为无旋场；反之，为有旋场。,二、旋度：,1、环流密度：,在矢量场 中来研究其 M点的性质，取包含此点的一个面元，其边界为 C，保持面元 的 方向不变，而 以任意方式趋近于零。则,环流密度,环量,环量面密度,讨论：,与 的边界 C 保持一致，,取最大值,与 有一夹角，则,当，时，（有旋矢量场 与面元 的法向分量 垂直），环流密度有最大值，此即被称为 的旋度大小；的
2、方向就称为 旋度的方向。,与 不在同一平面上,2、旋度的定义：,矢量 的旋度。记作,故,即,任意方向的环流密度,、旋度的物理意义,旋度的计算,矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；,在直角坐标系下：,故,例：求矢量场 在,点 M（1，0，1）处的旋度及沿,方向的环流密度。,解：矢量场 的旋度,在点 M（1，0，1）处的旋度,在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度,三、矢量场旋度的重要性质,旋度的散度恒等于零。,证明：,旋度与散度的定义都与坐标系无关。,应用：,斯托克斯定理：,证明：,将 S 分成许多面元,其相应面元的边界为,对每一个面元，其边界 的环绕方向均取与大回路 C一致的环绕方向。,则：相邻两面元、的边界、在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。,又,故,证毕,例1.4 已知。现有一个在 面内的闭合路径C，此闭合路径由 和 之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。,求：（1）矢量场的A旋度；（2）计算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。,解（1）,（2）,（3）斯托克斯定理成立。,
