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1、1.环流的概念,矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即,1.5 矢量场的环流与旋度,2.矢量场的旋度（）,（1）环流面密度,称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。,特点：其值与点M 处的方向 有关。,过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0 时，极限,概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流 面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元 的法线方向，即,物理意义：旋涡源面密度矢量。,性质：,（2）矢量场的旋度,旋度的计算公式:,例：求矢量场在点M(1,2,1)处的旋度及在这点沿矢径方向
2、的环流密度。,3.斯托克斯定理,斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,证明斯托克斯定理,矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。,4.散度和旋度的区别,无源区域,发散源,漩涡源,发散源漩涡源,旋度的有关公式：,任意矢量旋度的散度恒为零,由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即：,梯度的旋度恒为零,由此可知：如果一个矢量场的旋度为0，则该矢量场可由一个标量场的梯度来表示,1.矢量场
3、的源,散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；,旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。,1.6 无旋场与无散场,2.矢量场按源的分类,（1）无旋场,性质：，线积分与路径无关，是保守场。,仅有散度源而无旋度源的矢量场，,无旋场可以用标量场的梯度表示为,例如：静电场,（2）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质：,无散场可以表示为另一个
4、矢量场的旋度,例如，恒定磁场,（3）无旋、无散场,（源在所讨论的区域之外）,（4）有散、有旋场,这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,1.7 拉普拉斯运算,1.拉普拉斯运算,标量拉普拉斯运算,概念：,拉普拉斯算符,直角坐标系,计算公式：,2 矢量拉普拉斯运算,概念：,即,注意：对于非直角分量，,直角坐标系中：,如：,我们对矢量场的散度和旋度的意义进行一下归纳和总结：,1.8 亥姆霍兹定理,矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度是一个矢量函数。散度表示场中某点的通量体密度，它是通量源强度的量度；旋度表示场中某点的最大环量面密度，它是漩涡源强度的量度。散度取决于场矢量的各个分量沿各自
5、方向上的变化率；旋度由场矢量的各个分量在与之正交方向上的变化率来决定。散度表示矢量场在各点处的通量源，旋度表示矢量场在各点处的旋涡源。场是由源激发的，通量源和旋涡源的确定意味着场就确定了。,亥姆霍兹定理:,若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。,对于有限空间区域的矢量场，则是由它的散度、旋度和边界条件（即有限区域的边界面上的场分布）唯一的确定。其中边界条件反应了边界上的源对于区域内场的作用。,亥姆霍兹定理告诉我们：将矢量场的散度和旋度所满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形式 将矢量场的通量和环流所满足的关系式称为矢量场基本方程的积分形式 矢量场的基本性质就是由矢量场的基本方程来表示的。,麦克斯韦方程组的微分形式,波动方程,
