《社会工作统计》PPT课件.ppt

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1、社會工作統計,第四章敘述統計之二集中趨勢與離散趨勢之測量,2023/7/28,2,資料蒐集後，敘述性的資料整理或描述除了將資料作成統計圖及統計表外，還可從資料中計算出一些代表性的數據，稱為統計量(statistic)，這些代表性的統計量通常分為(一)描述資料分配集中位置的集中趨勢統計量(measures of central tendency or measures of location)，(二)描述資料分配分散程度的離散趨勢統計量(measures of dispersion or measures of spread)。,集中趨勢與離散趨勢統計量,2023/7/28,3,集中與離散趨勢統

2、計量,一般常用的集中與離散趨勢統計量：集中趨勢統計量：眾數、中位數、平均數。離散趨勢統計量：全距、四分位距、四分位差、平均差、變異數、標準差、變異係數。,2023/7/28,4,集中趨勢統計量的種類與定義,眾數(mode，Mo)：在一分配中次數出現最多的數值，即稱為眾數。中位數(median，Md or Mdn)：一分配中位居最中間的數值稱為中位數。平均數(mean)：又稱簡單或未加權平均數(unweighted mean)，或算術平均數(arithmetic mean)是指一組數值之總和除以此組數值之個數而得之數。,2023/7/28,5,眾數集中趨勢統計量之一,眾數(mode，Mo)：在一

3、分配中次數出現最多的數值，即稱為眾數。當一個分配中如果每一觀察值(observation,為一數值value)出現的次數都一樣，則此分配無眾數(no mode)。若此分配只有一個數值出現的出現的次數最高，則稱為單眾數(unimodal)，若此分配有兩個數值出現的出現的次數最高且一樣多，則稱為雙眾數(bi-modal)。如果出現次數最高且一樣多的數值有兩個以上，則稱為多眾數(multimodal)。,2023/7/28,6,眾數(續一),舉例：無眾數：3,5,6,7,8,9,10,11,12單眾數：2,4,5,7,9,9,9,10,12,15雙眾數：1,2,3,3,4,5,6,7,7,8,9多眾

4、數：20,30,40,50,50,50,60,70,80,80,80,90,100,110,110,110,120,2023/7/28,7,眾數(續二),使用時機與用途：眾數是一個地位量數(measure of location)可與中位數、平均數一起用來作為檢視一個分配的分散程度(spread)及形狀(shape)的參考點。如果是名目層次的資料，其集中趨勢僅能用眾數來表示。,2023/7/28,8,分組資料求眾數,假設某班學生社會統計期中考的分數次數分配如下表，試求此次考試的眾數。組別 組限 組界 組中點 次數 1 50-59 49.5-59.5 54.5 3 2 60-69 59.5-69

5、.5 64.5 10 眾數組 3 70-79 69.5-79.5 74.5 18 4 80-89 79.5-89.5 84.5 9 5 90-99 89.5-99.5 94.5 6 眾數：眾數組(次數最多的組)的組中點 本例眾數組為第三組，其組中點74.5即為眾數。,2023/7/28,9,中位數集中趨勢統計量之二,中位數(median，Md or Mdn)：一分配中位居最中間的數值稱為中位數。分配中有一半的數比中位數小，有一半的數比中位數大。如果一個分配有偶數個數值，則中位數為最中間兩個數的平均。中位數最適合作為順序層次資料的集中趨勢量數。中位數不受極端數值的影響，因此也適合作為等距或比率層

6、次資料在資料分配不對稱時的集中趨勢量數。,2023/7/28,10,中位數的計算,一、未分組資料中位數：(一)當資料個數為奇數時最中間的數即為中位數。如資料有N個數(N是奇數)，則第(N+1)/2個數為中位數。如：1,3,6,8,9,10,12 第(7+1)/2=4個數8為中位數。(二)當資料個數為偶數時最中間兩個數的平均數為中位數。如資料有N個數(N是偶數)，則第(N/2)及(N/2)+1個數的 平均數為中位數。如：1,3,6,8,9,10,12,15 第8/2=4個數及第(8/2)+1=5個數的平均數(8+9)/2=8.5)為中位數。,2023/7/28,11,中位數的計算(續一),二、分

7、組資料求中位數 假設某班學生社會統計期中考的分數次數分配如下表，試求此次考試的中位數。組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 50-59 49.5-59.5 3 3 6.52 2 60-69 59.5-69.5 10 13 28.26中位數組 3 70-79 69.5-79.5 18 31 67.39 4 80-89 79.5-89.5 9 40 86.96 5 90-99 89.5-99.5 6 46 100.00,2023/7/28,12,中位數的計算(續二),求算步驟：(一)找出中位數所在組：N/2=46/2=23，即第23個數為中位數，此數在第3組。註：N不論為奇數或偶數，均以第

8、N/2個數為中位數。(二)以下列公式找出中位數,2023/7/28,13,中位數的計算(續三),中位數求算原理說明(利用中位數相當於百分等級50之原理)：百分等級 28.26 50 67.39|-21.74-|-17.39-|對應分數 69.5 Md=?79.5|-10-|Md=69.5+21.74/(21.74+17.39)(10)=69.5+(21.74/39.13)(10)=69.5+5.56=75.06,2023/7/28,14,平均數集中趨勢統計量之三,平均數(mean)：又稱簡單或未加權平均數(unweighted mean)，或算術平均數(arithmetic mean)是指一組

9、數值之總和除以此組數值之個數而得之數。平均數為一分配之平衡點。平均數的計算公式：,2023/7/28,15,平均數(續一),加權平均數(weighted mean)：計算平均數時如果每一個數值有不同的比重，則考慮各數值比重加以計算的平均數就稱為加權平均數。加權平均數的計算公式：,2023/7/28,16,平均數(續二),分組資料求平均數：有如加權平均數，其權數即為各組之次數，不同處在於以組中點代替原始數據。其計算公式：,2023/7/28,17,集中趨勢統計量之比較(之一),一、按測量層次眾數：為次數之計算，可用於名目、順序、等距、比率層次之數值資料。中位數：數值按大小順序排列，可用於等距、比

10、率層次之數值資料。平均數：平均數僅適用於等距或比率層次的數值資料。,2023/7/28,18,集中趨勢統計量之比較(之二),二、按資料分配之形狀(一)對稱分配：眾數、中位數及平均數都是相同的或接近的，所以其地位量數的選擇完全依研究的目的及資料的測量層次決定。(二)不對稱分配：在偏的分配最好用中位數代表集中趨勢，在雙眾數的分配裡，以此雙眾數代表集中趨勢。,2023/7/28,19,集中趨勢統計量之比較(之三),三、按研究或使用的目的眾數：研究的目的只是簡單、快速的找出粗略的集中趨勢。中位數：將資料分成高低兩個部分時用之。平均數：研究的目的是要找出精確的集中趨勢，或希望將資料做進一步的統計運算時用

11、之。,2023/7/28,20,分配形狀的測量,測量分配形狀的統計量：(一)偏態係數(Skew-ness,SK)：測量一分配不對稱程度的統計量(又稱偏態係數)。(二)峰度係數(Kurtosis,K)：測量一分配尖度或平坦程度的統計量。,2023/7/28,21,偏態與峰度,平均數中位數眾數 平均數中位數眾數symmetrical negatively skewed positively skewed Sk=0 Sk0對稱稱分配 左偏分配 右偏分配 負偏分配 正偏分配,三種偏態類型：對稱(不偏)、負偏(左偏)、正偏(右偏)分配,2023/7/28,22,峰度圖示,三種峰度類型：高狹峰、低闊峰與常

12、態峰 高狹峰 低闊峰 常態峰 Leptokurtic Platykurtic Mesokurtic K3 K3 K=3,2023/7/28,23,離散趨勢統計量的種類與定義,全距(range,R)：在一資料分配中最大值與最小值之差。平均差(mean deviation，MD)：離均差(deviation)絕對值的平均數。變異數(variance，Var)：一組數值離均差平方和之平均數。標準差(Standard Deviation，Std or SD)：變異數的平方根。四分位距(interquartile range，IQR)：分配之第三與第一四分位數之差。又稱中間分散度(midspread)。

13、四分位差(Quartile Deviation，Q)：又稱半四分位距(semi-interquartile range)。在常態分配裡中位數加上或減去一個單位Q，含蓋了50%的資料。變異係數(coefficient of variance，CV)：標準差與平均數的百分比比值。,2023/7/28,24,全距離散趨勢統計量之一,全距(range,R)：在一資料分配中最大值與最小值之差。全距只考慮分配中最大值與最小值，因此是一粗略的分散程度的測量。資料的同質性如果高(標準差較小)，全距大概是標準差的26倍，如果資料的異質性高則全距是6個以上的標準差。R=H-L=Highest-Lowest=Max

14、imum-Minimum=Largest Smallest（公式4-3）,2023/7/28,25,平均差離散趨勢統計量之二,平均差(mean deviation，MD)：離均差(deviation)絕對值的平均數。平均差為一類似標準差的離散程度統計量。計算公式：,2023/7/28,26,變異數離散趨勢統計量之三,變異數(variance，Var)：一組數值離均差平方和之平均數。,2023/7/28,27,2023/7/28,28,標準差離散趨勢統計量之四,標準差(Standard Deviation，Std or SD)：變異數的平方根。,2023/7/28,29,標準差離散趨勢統計量之四

15、,2023/7/28,30,2023/7/28,31,四分位距離散趨勢統計量之五,四分位距(interquartile range，IQR)：分配之第三與第一四分位數之差。又稱中間分散度(midspread)。四分位距觀察分配最中間百分之五十(50%)資料之分散度。IQR=Q3-Q1=upper hinge lower hinge（公式4-17),2023/7/28,32,四分位差,四分位差(Quartile Deviation，Q)：又稱半四分位距(semi-interquartile range)。四分位差在順序資料裡常與中位數一起使用。在等距比率資料之偏的分配裡也常使用。在常態分配裡中位

16、數加上或減去一個單位Q，含蓋了50%的資料。計算公式：Q=(Q3-Q1)/2,2023/7/28,33,變異係數離散趨勢統計量之六,變異係數(coefficient of variance，CV)：標準差與平均數的百分比比值。變異係數方便不同單位間離散程度的比較。公式：,2023/7/28,34,全距、平均差之計算,有五個數：4,6,8,10,12求此五數的全距及平均差。全距=最大數-最小數=12-4=8平均差：,2023/7/28,35,四分位距之計算,一、未分組資料IQR之計算 例：15位學童之身高資料 123,124,125,127,129,131,132,134,135,135,136

17、,139,140,141,145方法：利用找中位數的方法找出Q1與Q3一、全部資料的中位數=md=Q1=134(第(15+1)/2=8個數)二、再分別從 最小數Q2 及 Q2最大數 間找中位數，即是Q1與Q3(部分資料得中位數),2023/7/28,36,四分位距之計算(續一),123,124,125,127,129,131,132,134,135,135,136,139,140,141,145最小數 Q1=128 Q2=134 Q3=137.5 最大數Q1相當於在123134間找中位數：共計8個數(偶數)，Q1為第4,5個數之平均(127+129)/2=128Q3相當於在134145間找中位

18、數：共計8個數(偶數)，Q3為第4,5個數之平均(136+139)/2=137.5IQR=Q3-Q1=137.5-128=9.5,2023/7/28,37,四分位距之計算(續二),二、分組資料IQR之計算A.將上述原始資料分組(四組)：組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 115-124 114.5-124.5 2 2 13.33 2 125-134 124.5-134.5 6 8 53.33 3 135-144 134.5-144.5 6 14 93.33 4 145-154 144.5-154.5 1 15 100.00 Q1=124.5+(25-13.33)/(53.33-13.3

19、3)*10=127.4175 Q3=134.5+(75-53.33)/(93.33-53.33)*10=139.9175IQR=Q3-Q1=139.9175-127.4175=12.5,2023/7/28,38,四分位距之計算(續三),B.將上述原始資料分組(五組)：組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 120-124 119.5-124.5 2 2 13.33 2 125-129 124.5-129.5 3 5 33.33 3 130-134 129.5-134.5 3 8 53.33 4 135-139 134.5-139.5 4 12 80.00 5 140-144 139.5-1

20、44.5 3 15 100.00 Q1=124.5+(25-13.33)/(53.33-13.33)*5=125.96Q3=134.5+(75-53.33)/(80.00-53.33)*5=138.56IQR=Q3-Q1=138.56-125.96=12.6比較三種狀況的IQR：原始資料 分四組 分五組 9.5 12.5 12.6,2023/7/28,39,四分位差之計算,因四分位差(Quartile Deviation)：Q=(Q3-Q1)/2故上述例題之四分位差分別為：Q=9.5/2=4.75Q=12.5/2=6.25Q=12.6/2=6.3,2023/7/28,40,四分位距與四分位差之

21、計算,有五個數：4,6,8,10,12求此五數的四分位距及四分位差。本題之：Q1=6,Q2=Md=8,Q3=10因此，IQR=Q3-Q1=10-6=4 Q=(Q3-Q1)/2=IQR/2=4/2=2,2023/7/28,41,變異數及標準差的計算,一、未分組資料求變異數及標準差 有五個數：4,6,8,10,12求此五數的平均數、變異數及標準差。,2023/7/28,42,變異數及標準差的計算(續一),二、分組資料求變異數如前例某班學生社會統計期中考分數的次數分配，試求此次考試的變異數與標準差。組別 組限 組界 組中點(m)次數(f)fm fm2 1 50-59 49.5-59.5 54.5 3

22、 163.5 8910.75 2 60-69 59.5-69.5 64.5 10 645.0 41602.50 3 70-79 69.5-79.5 74.5 18 1341.0 99904.50 4 80-89 79.5-89.5 84.5 9 760.5 64262.25 5 90-99 89.5-99.5 94.5 6 567.0 53581.50 46 3477.0 268261.50,2023/7/28,43,變異數及標準差的計算(續二),變異數：標準差：,2023/7/28,44,變異係數之計算,十位男性與十位女性之體重資料如下：男性：45 54 56 60 65 67 70 72 75 80女性：38 40 43 44 50 52 55 60 65 67試比較男女體重之變異係數。,2023/7/28,45,離散統計量的比較,一、全距：較粗糙的離散趨勢統計量。二、四分位距：中間50%資料差異的粗略統計。三、四分位差：常與中位數合用，在常態分配，中位數加、減一個單位的四分位差含蓋50%的資料。四、平均差：較精確的離散統計量，較不適合高階統計推演。五、變異數：為一精確的平均差異統計量，單位為平方單位，不易理解。六、標準差：為精確且最常用之離散趨勢統計量。七、變異係數：為一種相對差異統計量適合不同單位差異程度之比較。,