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1、3 系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性,3.1线性时不变系统的描述及特点,本节内容如何建立连续时间系统和离散时间系统的数学模型*线性时不变（Linear Time Invariance,LTI）系统的特点,解 令表示质点在第k秒末的行程，则根据题意，有 即 上式中待求变量的序号（）最多相差2，称为二阶差分方程。,3.1线性时不变系统的描述及特点,【例3-5】一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所行距离
2、的2倍，试列出描述该质点行程的方程。,3.1线性时不变系统的描述及特点,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,ai、bj为常数。,离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述,ai、bj为常数。,线性时不变(LTI)系统的描述,3.1线性时不变系统的描述及特点,线性时不变系统的特点,LTI系统除具有线性特性和时不变特性，还具有:,1）微分特性或差分特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk=yk,则 T fk-fk-1=yk-yk-1,2）积分特性或求和特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk=yk,则,3.2 连续时间LTI系统的响应,经典时域分析方法 零输入响应求解
3、零状态响应求解,一、经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,一、经典时域分析方法,齐次解yh(t)的形式,(1)特征根是不等实根 s1,s2,sn,(2)特征根是等实根 s1=s2=sn=s,(3)特征根是成对共轭复根,一、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,例3-8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解:
4、(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例3-8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解:(2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t),由输入f(t)的形式，设方程的特解为,yp(t)=Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解:(3)求方程的
5、全解,解得 A=5/2，B=-11/6,结论,齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激 励信号的函数形式无关被称为系统的自由响应或 固有响应；特解的形式由激励信号所决定称为强迫响应。,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,二、连续LTI系统的零输入响应,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由
6、初始条件确定待定系数。,解:系统的特征方程为,例3-10 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=2，求系统的零输入响应yx(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y(0-)=yx(0-)=-2K1-3K2=2,解得 K1=5，K2=-4,【例】如图所示的电路，已知，电感电流 为响应，求零输入响应、零状态响应和全响应。,图 2.3 电路图,解,由例2.1可导出关于电流 的微分方程,代入数据得,（1）求ZIR,令上式中，有齐次方程,其特征方程为,得特征根,ZIR的形式为,式,（2
7、）求ZSR,当 时，系统的零状态响应 是下面微分方程的解,该解由两部分组成，即,齐次解形式为,特解的形式应与激励相同，因激励为直流信号，可 设为常数，令 代入微分方程，得,故ZSR可写为,式（）,由题意可得 且,根据图2.3（c）等效电路可得,在式（）及其导数的关系式中令，有,将其代回式（）得ZSR为,系统的全响应为：,三、LTI系统的零状态响应,求解系统的零状态响应yf(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。,2.系统的零状态响应,卷
8、积法求解系统零状态响应yf(t)的思路,1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应 h(t),h(t)=T(t)3)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf(t)。,卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导,由时不变特性,由均匀特性,由信号分解理论，,T(t)=h(t),T(t-k)=h(t-k),Tf(k)(t-k)=f(k)h(t-k),当0时，上式可写成,卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导,由时不变特性,由均匀特性,由积分特性,例 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在f2
9、(t)激励下产生的响应 y2(t)。,解：,从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系,根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为：y(t)+2y(t)+5y(t)=4f(t)+3f(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,解:系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)=K1=1 y(0-)=yx(0-)=-K1+2K2=3,解得 K1=1，K2=2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+4y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。,解:系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yx(0-)=K1=1;y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3,解得 K1=2,K2=3,例 已知某LTI系统的动态方程式为：y(t)+3y(t)=2f(t)系统的冲激响应 h(t)=2e-3t u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。,解：,
